根式

时间:2019-9-9 19:05:01   作者:数学名师王老师
1.理解n次方根及根式的概念,掌握根式的性质.
2.能利用根式的性质对根式进行化简.
知识点
  • 1.n次方根

    定义

    一般地,如果$x^{n}=a$,那么x叫做an次方根,其中n>1,且$n \in \mathbf{N}^{*}$

    个数

    n是奇数

    a>0

    x>0

    x仅有一个值,记为$\sqrt[n]{a}$

    a<0

    x<0

    n是偶数

    a>0

    x有两个值,且互为相反数,记为$\pm \sqrt[n]{a}$

    a<0

    x不存在

    归纳总结

    1.任何实数均有奇次方根,仅有非负数才有偶次方根,负数没有偶次方根.

    2.$\sqrt[n]{0}=0\left(n>1, n \in \mathbf{N}^{*}\right)$.

    【做一做1-1】$\sqrt[3]{-8}$等于(   )

    A.2               B.-2               C.±2           D.-8

    【做一做1-2】$\sqrt[4]{625}$等于(   )

    A.5               B.-5              

    C.±5             D.25

    【做一做1-3】 已知$x^{7}=5$,则x=______. 

  • 2.根式

    (1)定义:式子$\sqrt[n]{a}$叫做根式,n叫做根指数,a叫做被开方数.

       归纳总结

    正数开方要分清,根指奇偶大不同,

    根指为奇根一个,根指为偶双胞生.

    负数只有奇次根,算术方根零或正,

    正数若求偶次根,符号相反值相同.

    负数开方要慎重,根指为奇才可行,

    根指为偶无意义,零取方根仍为零.

    (2)性质:(n>1,且n∈N*)

    ①$(\sqrt[n]{a})^{n}=a$.

    ②$\sqrt[n]{a^{n}}=\left\{\begin{array}{l}{a, n为奇数} \\ {|a|, n为偶数}\end{array}\right.$

    【做一做2-1】 根式$\sqrt{m+1}$的根指数是______,被开方数是______. 

    答案:2 m+1

    【做一做2-2】$(\sqrt[5]{-2})^{5}=$_________,$\sqrt[4]{(-2)^{4}}=$__________。

重难点
  • 1.对$(\sqrt[n]{a})^{n}$的理解

    剖析:$(\sqrt[n]{a})^{n}$是实数a的n次方根的n次幂,其中实数a的取值范围由n的奇偶性来决定:

    (1)当n为大于1的奇数时,$(\sqrt[n]{a})^{n}=a, a \in \mathbf{R}$.例如$(\sqrt[3]{27})^{3}=27,(\sqrt[5]{-32})^{5}=-32,(\sqrt[7]{0})^{7}=0$.

    (2)当n为大于1的偶数时,若a≥0,则$(\sqrt[n]{a})^{n}=a$.例如,$(\sqrt[4]{27})^{4}=27,(\sqrt{3})^{2}=3,(\sqrt[6]{0})^{6}=0$;若a < 0,则式子$(\sqrt[n]{a})^{n}$无意义.例如,由于$x^{2}=-2, x^{4}=-54$均不成立,则$\sqrt{-2}, \sqrt[4]{-54}$无意义,所以$(\sqrt{-2})^{2},(\sqrt[4]{-54})^{4}$均无意义.

    由此看来,只要$(\sqrt[n]{a})^{n}$有意义,其值就恒等于a,$(\sqrt[n]{a})^{n}=a$.

  • 2.对$\sqrt[n]{a^{n}}$的理解

    剖析$\sqrt[n]{a^{n}}$是实数$a^{n}$的n次方根,是一个恒有意义的式子,不受n的奇偶性限制,a∈R.但是这个式子的值受n的奇偶性限制:

    (1)当n为大于1的奇数时,其值为a,即$\sqrt[n]{a^{n}}=a$.例如:$\sqrt[3]{(-2)^{3}}=-2, \sqrt[5]{6.1^{5}}=6.1$

    (2)当n为大于1的偶数时,其值为|a|,即:$\sqrt[n]{a^{n}}=|a|$,例如:$\sqrt[4]{3^{4}}=3, \sqrt{(-3)^{2}}=|-3|=3$.

    因此,$\sqrt[n]{a^{n}}=\left\{\begin{array}{l}{a, n为奇数} \\ {|a|, n为偶数}\end{array}\right.$

例题解析
  • 题型一、根式的概念

    【例1】 (1)下列说法:

    ①16的4次方根是2;②$\sqrt[4]{16}$的运算结果是±2;③当n为大于1的奇数时,$\sqrt[n]{a}$对任意a∈R都有意义;④当n为大于1的偶数时,只有当a≥0时,$\sqrt[n]{a}$才有意义.其中说法正确的序号为_________; 

    (2)若$\sqrt[3]{\frac{1}{a-3}}$有意义,则实数a的取值范围是________. 

    【变式训练1】 下列说法中正确的是(  )

    A.-2是-8的立方根

    B.正数的n次方根有两个

    C.a的n次方根是$\sqrt[n]{a}$

    D.负数a的奇次方根为$-\sqrt[n]{a}$

  • 题型二、利用根式的性质化简、求值

    【例2】 求下列各式的值:


    (1)$\sqrt[3]{(-8)^{3}}+\sqrt[4]{(3-\pi)^{4}}$

    (2)$(\sqrt[5]{a-b})^{5}+(\sqrt[6]{b-a})^{6}(b>a)$

    【变式训练2】 化简:$(\sqrt{a-1}) 2+\sqrt{(1-a)^{2}}+\sqrt[3]{(1-a)^{3}}=$_________

  • 题型三、有条件的根式的化简

    【例3】 设$-3< x < 3$  ,化简$\sqrt{x^{2}-2 x+1}-\sqrt{x^{2}+6 x+9}$

    【变式训练3】 当a>0时,$\sqrt{-a x^{3}}$等于(   )

    A.$x \sqrt{a x}$    B.$x \sqrt{-a x}$

    C.$-x \sqrt{-a x}$    D.$-x \sqrt{a x}$

  • 题型四、易混易错题

    易错点 化简$\sqrt[n]{a^{n}}$忽略条件而致误

    【例4】 计算$\sqrt[3]{(1+\sqrt{2})^{3}}+\sqrt[4]{(1-\sqrt{2})^{4}}$。

    【变式训练4】 若$\sqrt{4 a^{2}-4 a+1}=\sqrt[3]{(1-2 a)^{3}}$,则a的取值范围是(  )

    A.$a \geq \frac{1}{2}$   B.$a \leq \frac{1}{2}$

    C.$-\frac{1}{2} \leq a \leq \frac{1}{2}$   D.$\mathbf{R}$

声明:本站部分内容搜集整理自互联网,如果涉及侵犯您的版权,请联系我们举报,并提供相关证据,工作人员会在5个工作日内回复您,一经查实,本站将立刻删除涉嫌侵权内容。

相关推荐

正弦型函数y=Asin(ωx+φ)

1.能正确使用“五点法”“图象变换法”作出函数$y=A \sin (\omega x+\varphi)$)的图象,并熟悉其变换过程. 2.会求函数$y=A \sin (\omega x+\varphi)$的周期、频率与振幅. 3.结合具体实例,了解$y=A \sin (\omega x+\varphi)$的实际意义,并且了解$y=A \sin (\omega x+\varphi)$中参数$\mathrm{A}, \omega, \varphi$对函数图象变化的影响以及它们的物理意义. 4.会求函数$y=A \sin (\omega x+\varphi)$的有关性质.