直线与平面平行的性质

时间:2019-9-9 19:05:01   作者:数学名师王老师
1.理解并能证明直线与平面平行的性质定理,明确定理的条件.
2.能利用性质定理解决有关的平行问题.
知识点
  • 直线与平面平行的性质定理

    文字

    语言

    一条直线与一个平面平行,则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行

    图形

    语言

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    符号

    语言

    $a / / \alpha, a \subset \beta, \alpha \cap \beta=b \Rightarrow a / / b$

    作用

    证明两条直线平行

    归纳总结
    1.性质定理可以作为直线与直线平行的判定方法.

    2.若a∥α,在平面α内找到一条直线b,使b∥a的作法是:经过已知直线作一个平面和已知平面相交,则交线和已知直线a平行,此交线就是要找的直线b.

    【做一做】 如图,在长方体$A B C D-A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$中,E,F分别是棱$A A_{1}$和$B B_{1}$的中点,过$E F$的平面$E F G H$分别交$B C$和$A D$于点G,H,求证:$A B / / G H$.

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重难点
  • 1.理解直线与平面平行的性质定理

    剖析:(1)如果直线$a / /$平面α,在平面α内,除了与直线a平行的直线外,其余的任一直线都与a是异面直线.

    (2)条件:①直线a与平面α平行,即$a / / \alpha$;②直线a 在平面β内,即$a \subset \beta$;③平面α,β相交于一条直线,即$\alpha \cap \beta=b$,三个条件缺一不可.

    (3)线面平行的性质定理体现了数学的化归思想,即线面平行转化为线线平行.

  • 2.解决线面平行问题的策略

    剖析:解决证明问题的策略是由求证想判定,由已知想性质,总是对“判定”和“性质”进行转化,最终就能统一起来,即找到了证明思路.

    如果已知条件中给出线面平行或隐含线面平行,那么在解决过程中,一定会用到线面平行的性质定理.在应用性质定理时,关键是过已知直线作辅助平面与已知平面相交,所得交线不仅起到与已知直线平行的作用,而且起到已知平面内任一条直线与已知直线位置关系的判定作用,即在已知平面内所有与交线平行的直线都与已知直线平行,所有与交线相交的直线都与已知直线异面.直线与平面平行的性质定理与判定定理经常交替使用,这反映了线面平行、线线平行间的相互转化,也是将平面几何与立体几何联系起来的桥梁.

例题解析
  • 题型一、线面平行性质定理的简单应用

    【例1】 如图,已知$A B / /$平面$\alpha, A C / / B D$,且$A C, B D$与α分别相交于点C,D.求证:$A C=B D$.

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    反思

    利用线面平行的性质定理解题的步骤:(1)确定(或寻找)一条直线平行于一个平面;(2)确定(或寻找)过这条直线且与已知平面相交的平面;(3)确定交线;(4)由定理得出结论.

    【变式训练1】 如图,在四棱锥$P-A B C D$中,$M,N$分别为$AC,PC$上的点,且$M N / /$平面$PAD$.若$C M : M A=1 : 4$,则$C N : N P=$________. 

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  • 题型二、线面平行性质定理与判定定理的综合应用

    【例2】 求证:如果一条直线和两个相交平面平行,那么该直线与相交平面的交线平行.

    反思

    利用线面平行的判定和性质定理,可以完成平面问题和空间问题的相互转化.转化思想是一种重要的数学思想.本节常用的转化为:

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    【变式训练2】

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    如图,四边形$ABCD$是平行四边形,点P是平面$ABCD$外一点,$M$是$PC$的中点,在$DM$上取一点$G$,过$G$和$AP$作平面交平面$BDM$于$GH$.求证:$G H / / P A$.

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