函数y=Asin(ωx+φ)的性质及应用

时间:2019-9-9 19:05:02   作者:数学名师王老师
1.知道函数y=Asin(ωx+φ)中参数A,ω,φ的物理意义.
2.整体把握函数y=Asin(ωx+φ)的图象与性质,并能解决有关问题.
知识点
  • 1.简谐运动

    简谐运动$y=A \sin (\omega x+\varphi)(A>0, \omega>0, x \in[0,+\infty))$中,A叫振幅,$T=\frac{2 \pi}{\omega}$ 叫周期,$f=\frac{\omega}{2 \pi}$ 叫频率,$\omega x+\varphi$叫相位,φ叫初相.

    【做一做1-1】 函数$y=3 \sin \left(\frac{x}{2}+\frac{\pi}{3}\right)$的周期、振幅依次是(  )

    A.4π,3 B.4π,-3

    C.π,3 D.π,-3

    答案:A

    【做一做1-2】 简谐运动$y=\frac{1}{4} \sin \left(\frac{\pi}{3} x-\frac{\pi}{12}\right)$的频率f=_______。

    解析:周期$T=\frac{2 \pi}{\frac{\pi}{3}}=6$,则频率$f=\frac{1}{T}=\frac{1}{6}$.

    答案:$\frac{1}{6}$

  • 2.函数$y=A \sin (\omega x+\varphi)(A>0, \omega>0)$的性质

    (1)定义域:R.

    (2)值域:[-A,A].

    当$x=\frac{2 k \pi+\frac{\pi}{2}-\varphi}{\omega}(k \in \mathbf{Z})$时,$y$取最大值$A$;当$x=\frac{2 k \pi-\frac{\pi}{2}-\varphi}{\omega}(k \in \mathbf{Z})$时,y取最小值-A.

    (3)周期性:周期函数,周期为$\frac{2 \pi}{\omega}$.

    (4)奇偶性:当且仅当$\varphi=k \pi(k \in \mathbf{Z})$时,函数$y=A \sin (\omega x+\varphi)$是奇函数;当且仅当$\varphi=k \pi+\frac{\pi}{2}(k \in \mathbf{Z})$时,函数$y=A \sin (\omega x+\varphi)$是偶函数.

    (5)单调性:单调递增区间是

    $\left[\frac{2 k \pi-\frac{\pi}{2}-\varphi}{\omega}, \frac{2 k \pi+\frac{\pi}{2}-\varphi}{\omega}\right](k \in \mathbf{Z})$;

    单调递减区间是$\left[\frac{2 k \pi+\frac{\pi}{2}-\varphi}{\omega}, \frac{2 k \pi+\frac{3 \pi}{2}-\varphi}{\omega}\right](k \in \mathbf{Z})$.

    知识拓展

    1.对称性:函数图象与x轴的交点是对称中心,即对称中心是$\left(\frac{k \pi-\varphi}{\omega}, 0\right)(k \in \mathbf{Z})$,对称轴与函数图象的交点的纵坐标是函数的最值,即对称轴是直线$x=\frac{k \pi+\frac{\pi}{2}-\varphi}{\omega}$,其中$k \in \mathbf{Z}$.

    2.对于函数$y=A \sin (\omega x+\varphi)(A>0, \omega>0)$的图象,相邻的两个对称中心或两条对称轴相距半个周期;相邻的一个对称中心和一条对称轴相距周期的四分之一.

    3.讨论函数$y=A \sin (\omega x+\varphi)$的性质,要善于采用整体策略,即把$\omega x+\varphi$看成一个整体,将问题化归为正弦函数的性质来解决.

    【做一做2-1】 函数$y=6 \sin \left(3 x-\frac{\pi}{8}\right)$的最大值是 (  )

    A.6     B.7     C.8     D.18

    答案:A

    【做一做2-2】 已知函数$f(x)=A \sin \left(\omega x+\frac{\pi}{3}\right)(A>0, \omega>0)$在一个周期内,当$x=\frac{\pi}{12}$时,取得最大值2;当$x=\frac{7 \pi}{12}$ 时,取得最小值-2,则函数f(x)=____. 

    解析:$T=2\left(\frac{7 \pi}{12}-\frac{\pi}{12}\right)=\pi, A=2$.

    又$\pi=\frac{2 \pi}{\omega}$,则ω=2.故函数$f(x)=2 \sin \left(2 x+\frac{\pi}{3}\right)$.

    答案:2 $\sin \left(2 x+\frac{\pi}{3}\right)$

重难点
  • 由图象求函数的解析式

    剖析:若已知函数图象求它对应的解析式,一般是仔细地观察图象,从它已表达出的特征,如一个或半个周期,最高点与最低点,与x轴或y轴的交点或其他特殊点等来求.

    若所求的解析式为$y=A \sin (\omega x+\varphi)$,则此时最大值与最小值互为相反数.A由最高点与最低点确定,ω由周期T确定,φ由已知点的坐标确定,常用五点中的一个求得.

    知识拓展利用零点法确定φ的值,需要将已知函数的图象形状与函数y=sin x在相应的一个周期内的图象相比较,认清该零点为三个零点中的第几个零点.第一个零点为图象上升时与x轴的交点,即ωx+φ=0;第二个零点为图象下降时与x轴的交点,即ωx+φ=π;第三个零点为ωx+φ=2π.但是最高点与最低点都只有一个,因此将最值点代入,一般不易出错.

例题解析
  • 题型一、图象对称问题

    【例1】 已知函数$f(x)=\sin \left(\omega x+\frac{\pi}{3}\right)(\omega>0)$的最小正周期为π,则该函数图象(  )

    A.关于点$\left(\frac{\pi}{3}, 0\right)$对称       B.关于直线$x=\frac{\pi}{4}$对称

    C.关于点$\left(\frac{\pi}{4}, 0\right)$对称       D.关于直线$x=\frac{\pi}{3}$对称

    【变式训练1】 设函数$f(x)=\sin (2 x+\varphi)(-\pi<\varphi < 0), y=f(x)$的图象的一条对称轴是直线$x=\frac{\pi}{8}$.

    (1)求φ;(2)求函数y=f(x)的单调递增区间.

  • 题型二、求函数$y=A \sin (\omega x+\varphi)(A>0, \omega>0)$的解析式

    【例2】 函数$y=A \sin (\omega x+\varphi)(A>0, \omega>0)$的图象如图,试确定其一个函数解析式.

    image.png

    分析:解答本题可由最高点、最低点确定A,再由周期确定ω,最后由图象所过的点确定φ.

    反思

    确定y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的解析式的步骤如下:

    (1)由最大值、最小值确定振幅A.

    (2)由图象上五个关键点的横坐标及其差值确定周期,进而求得ω的值.

    (3)由特殊点的坐标求初相φ.特殊点可以是五个关键点,也可以是图象上的其他点.A,ω的值是唯一的,初相φ的值不唯一,一般取绝对值较小的φ值.

    【变式训练2】 

    image.png

    已知函数$y=\sin (\omega x+\varphi)(\omega>0,-\pi \leq \varphi<\pi)$的图象如图,则φ=______. 

  • 题型三、实际应用题

    【例3】 心脏跳动时,血压在增加或减少.血压的最大值、最小值分别称为收缩压、舒张压,血压计上的读数就是收缩压和舒张压,读数120/80 mmHg为标准值.设某人的血压满足函数式$P(t)=115+25 \sin (160 \pi t)$,其中P(t)为血压(单位:mmHg),t为时间(单位:min),试回答下列问题:

    (1)求函数P(t)的周期;

    (2)求此人每分钟心跳的次数;

    (3)画出函数P(t)的草图;

    (4)求出此人的血压在血压计上的读数,并与标准值比较.

    分析:(1)利用周期公式可以求出函数P(t)的周期;(2)每分钟心跳的次数即频率;(3)用“五点法”作出函数的简图;(4)此人的收缩压、舒张压分别是函数P(t)的最大值和最小值,故可求此人血压计上的读数.

    反思

    函数y=Asin(ωx+φ)+b的实际应用问题,常涉及求函数的周期、频率及最值等,解题时将实际问题转化为三角函数的有关问题是关键,同时要注意函数图象的应用.

    【变式训练3】 已知某地一天从4时到16时的温度变化曲线近似满足函数$y=10 \sin \left(\frac{\pi}{8} x-\frac{5 \pi}{4}\right)+20, x \in[4,16]$.

    (1)求该地区这一段时间内温度的最大温差;

    (2)若有一种细菌在15 ℃到25 ℃之间可以生存,则在这段时间内,该细菌能生存多长时间?

  • 题型四、易错辨析

    易错点 在求$y=A \sin (\omega x+\varphi)$的解析式中的φ时,错用对应点

    【例4】 函数$y=\sin (\omega x+\varphi)(x \in \mathbf{R}, \omega>0,-\pi<\varphi<\pi)$的部分图象如图,则该函数的解析式为______. 

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