同角三角函数的基本关系

时间:2019-9-9 19:05:02   作者:数学名师王老师
1.理解同角三角函数的基本关系式:sin2x+cos2x=1,sinx/cosx=tan x;掌握这两个基本关系的推导.
2.会用以上两个基本关系进行化简、求值和证明.
知识点
  • 同角三角函数的基本关系

    (1)关系式:

    ①平方关系:$\sin ^{2} \alpha+\cos ^{2} \alpha=1$.

    ②商关系:$\frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}=\tan \alpha\left(\alpha \neq k \pi+\frac{\pi}{2}, k \in \mathrm{Z}\right)$

    (2)文字叙述:同一个角α的正弦、余弦的平方和等于1, 同一个角α的正弦、余弦的商等于角α的正切.

    名师点拨

    1.对于同角三角函数的基本关系的理解,应注意两个方面:一是“角相同”,如$\frac{\pi}{3}$与$\frac{\pi}{3}$,4α与$4 a, 5 \beta+\frac{\pi}{7}$与$5 \beta+\frac{\pi}{7}$都是同一个角;二是对“任意”一个角(使得函数有意义的前提下)关系式都成立.

    2.根据问题的需要,应注意同角三角函数基本关系式的变形和逆用.如基本关系式有如下的变形形式:$\sin ^{2} \alpha=1-\cos ^{2} \alpha, \cos ^{2} \alpha=1-\sin ^{2} \alpha, \\ 1=\sin ^{2} \alpha+\cos ^{2} \alpha$;

    $\sin \alpha=\tan \alpha \cdot \cos \alpha, \cos \alpha=\frac{\sin \alpha}{\tan \alpha} ; \\ 1 \pm 2 \sin \alpha \cos \alpha=(\sin \alpha \pm \cos \alpha)^{2}$

    【做一做1】 已知$\sin \alpha=\frac{7}{8}, \cos \alpha=\frac{\sqrt{15}}{8}$,则$\tan \alpha$等于 (  ) 

    A.$\frac{7}{8}$  B.$\frac{\sqrt{15}}{8}$ C.$\frac{\sqrt{15}}{7}$ D.$\frac{7 \sqrt{15}}{15}$ 

    答案:D

    【做一做2】 $\sin ^{2} 2017^{\circ}+\cos ^{2} 2017^{\circ}=$________. 

    答案:1

重难点
  • 三角函数式的化简与证明方法

    剖析:三角函数式的化简是将三角函数式化为最简单的形式,其基本要求是,尽量减少角的种数,尽量减少三角函数的种数,尽量化为同角且同名的三角函数等.三角函数式的化简实质上是一种不指定答案的恒等变形,体现了由繁到简的最基本的数学解题原则.它不仅要求熟悉和灵活运用所学的三角公式,而且还需要熟悉和灵活运用这些公式的等价形式,同时这类问题还具有较强的综合性,对其他非三角知识的运用也具有较高的要求.三角函数恒等式的证明是一种指定答案的恒等变形,与三角函数式的化简相比要简单一些.

    证明三角恒等式就是通过转化和消去等式两边的差异来促成统一的过程,证明的方法在形式上显得较为灵活.常用的有以下几种:

    (1)直接法??从等式的一边开始直接化为等式的另一边,常从比较复杂的一边开始化简到另一边,其依据是相等关系的传递性.

    (2)综合法??由一个已知成立的等式(如公式等)恒等变形得到所要证明的等式,其依据是等价转化的思想.

    (3)中间量法??证明等式左右两边都等于同一个式子,其依据是等于同一个量的两个量相等,即“若a=c,b=c,则a=b”,它可由等量关系的传递性推出.

    (4)分析法??即从结论出发,逐步推向已知条件,其证明过程的书写格式为“要证明……,只需……”,只要所需的条件都已经具备,则结论就成立.

例题解析
  • 题型一、已知cos α(或sin α),求tan α和sin α(cos α)

    【例1】 已知$\cos \alpha=-\frac{8}{17}$,求$\sin \alpha, \tan \alpha$的值.

    分析:先利用平方关系求出$sin α$的值,再利用商的关系求出$tan α$的值.在求$sin α$的值时,先由余弦值为负确定角$α$的终边在第二或第三象限,再分象限讨论.

    反思

    已知$cos α($或$sin α)$求$tan α$时,先利用平方关系求出$sin α($或$cos α)$,再利用商关系求出$tan α$.注意在求$sin α($或$cos α)$时,往往需分类讨论$α$所在的象限.

    【变式训练1】 若$\sin \alpha=-\frac{4}{5}$,求$\cos \alpha, \tan \alpha$的值.

  • 题型二、已知tan α,求sin α和cos α

    【例2】 已知tan α=3,求sin α和cos α的值.

    分析:利用平方关系和商关系,列方程组解得sin α和cos α的值

    【变式训练2】 已知tan α=4/3,且α是第三象限角,求sin α,cos α的值.

  • 题型三、证明三角恒等式

    【例3】 求证:$2(1-\sin \alpha)(1+\cos \alpha)=(1-\sin \alpha+\cos \alpha)^{2}$

    反思

    证明三角恒等式时,若左烦右简,选择从左向右推证;若左简右烦,选择从右向左推证;若两边都很烦琐,则选择两边同时化简,得到同一个式子.

    【变式训练3】

     (1)化简$\tan \alpha \sqrt{\frac{1}{\sin ^{2} \alpha}-1}$,其中α是第二象限角;

     (2)求证:$\frac{\sin \alpha}{1-\cos \alpha}=\frac{1+\cos \alpha}{\sin \alpha}$.

  • 题型四、已知tan α的值求其他代数式的值

    【例4】 已知tan α=7,求下列各式的值. 

    (1)$\frac{\sin \alpha+\cos \alpha}{2 \sin \alpha-\cos \alpha}$;

    (2)$\sin ^{2} \alpha+\sin \alpha \cos \alpha+3 \cos ^{2} \alpha$.

    反思

    1.已知tan α=m,求关于sin α,cos α的齐次式的值的问题时,需注意以下几点:

    (1)一定是关于sin α,cos α的齐次式(或能化为齐次式)的三角函数式;

    (2)因为$\cos \alpha \neq 0$,所以可用$\cos ^{n} \alpha\left(n \in \mathbf{N}^{*}\right)$去除原式分子、分母的各项,这样可以将原式化为关于$\tan \alpha$的表达式,再将$\tan \alpha$的值代入,从而求值.

    2.形如$\frac{a \sin \alpha+b \cos \alpha}{\operatorname{csin} \alpha+d \cos \alpha}$ 或 $\frac{a \sin ^{2} \alpha+b \sin \alpha \cos \alpha+c \cos ^{2} \alpha}{d \sin ^{2} \alpha+e \sin \alpha \cos \alpha+f \cos ^{2} \alpha}$的分式,直接将分子、分母同时除以$\cos \alpha$或$\cos ^{2} \alpha$,将正弦、余弦转化为正切,从而求值.

    3.形如$a \sin ^{2} \alpha+b \sin \alpha \cos \alpha+c \cos ^{2} \alpha$的式子,可先将其看成分母为1的分式,再将分母1变形为$\sin ^{2} \alpha+\cos ^{2} \alpha$,转化为 $\frac{a \sin ^{2} \alpha+b \sin \alpha \cos \alpha+c \cos ^{2} \alpha}{\sin ^{2} \alpha+\cos ^{2} \alpha}$,再进行求解.

    【变式训练4】 设tan α=2.求下列各式的值: 

    (1)$\frac{1+2 \sin \alpha \cos \alpha}{\sin ^{2} \alpha-\cos ^{2} \alpha}$;

    (2)$2 \sin 2 \alpha-3 \sin \alpha \cos \alpha+5 \cos 2 \alpha$.

  • 题型五、易错辨析

    易错点 忽视$\sin \theta$与$\cos \theta$的制约关系致错

    【例5】 已知θ是第二象限角,且$\sin \theta=\frac{m-3}{m+5}, \cos \theta=\frac{4-2 m}{m+5}$,则实数m的取值范围是(  )

    A.3 < m < 9    B.-5 < m < 9      C.m=0或m=8       D.m=8

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