等比数列的性质

时间:2019-9-9 19:05:02   作者:数学名师王老师
1.复习巩固等比数列的概念及其通项公式.
2.掌握等比中项的应用.
3.掌握等比数列的性质,并能解决有关问题.
知识点
  • 1.等比数列的定义及通项公式

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    【做一做1】 等比数列$\left\{a_{n}\right\}$的公比$q=3, a_{1}=\frac{1}{3}$,则$a 5$等于(  ).

    A.3  B.9  C.27  D.81

    答案:C

  • 2.等比中项

    如果在a与b中间插入一个数G,使a,G,b成________,那么G叫做a与b的等比中项,这三个数满足关系式________.

    【做一做2】 已知10是a与20的等比中项,则a=________. 

    答案:5

重难点
  • 1.等比数列的性质

    剖析已知在等比数列$\left\{a_{n}\right\}$中,首项为$a_{1}$,公比为$q(q \neq 0)$,则$a_{n}=a_{1} \cdot q^{n-1}$.

    (1)当$q > 1, a_{1} > 0$或$ 0 < q < 1, a_{1} < 0 $时,数列$\left\{a_{n}\right\}$是递增数列;当$q > 1, a_{1} < 0$或$0 < q < 1, > 0 $时,数列$\left\{a_{n}\right\}$是递减数列;当$q=1$时,数列$\left\{a_{n}\right\}$是常数列;当$q < 0$时,数列$\left\{a_{n}\right\}$是摆动数列(它所有的奇数项同号,所有的偶数项同号,但是奇数项与偶数项异号).

    (2) $a_{n}=a_{m} \cdot q^{n-m}\left(m_{2} n \in \mathbf{N}^{*}\right)$.

    (3)当$m+n=p+q\left(m, n, p, q \in \mathbf{N}^{*}\right)$时,有$a_{m} \cdot a_{n}=a_{p} \cdot a_{q}$.但$a_{m}+a_{n} \neq a_{p}+a_{q}$.当$m+n=2 k\left(m, n, k \in \mathbf{N}^{*}\right)$时,有$a_{m} \cdot a_{n}=a_{k}^{2}$

    (4)若数列$\left\{a_{n}\right\}$是有穷数列,则与首末两项等距离的两项的积相等,且等于首末两项之积,即$a_{1} \cdot a_{n}=a_{2} \cdot a_{n-1}=a_{3} \cdot a_{n-2} \\ =\ldots=a_{m} \cdot a_{n-m+1}$.

    (5)数列$\left\{\lambda a_{n}\right\}$($λ$为不等于零的常数)仍是公比为$q$的等比数列;若数列$\left\{b_{n}\right\}$是公比为$q^{\prime}$的等比数列,则数列$\left\{a_{n} \cdot b_{n}\right\}$是公比为$q \cdot q^{\prime}$的等比数列;数列$\left\{\frac{1}{a_{n}}\right\}$是公比为$\frac{1}{q}$的等比数列;数列$\left\{\left|a_{n}\right|\right\}$是公比为$|q|$的等比数列.

    (6)在数列$\left\{a_{n}\right\}$中,每隔$k\left(k \in \mathbf{N}^{*}\right)$项取出一项,按原来的顺序排列,所得数列仍为等比数列,且公比为$q^{k+1}$.

    (7)当数列$\left\{a_{n}\right\}$是各项都为正数的等比数列时,数列$\left\{\lg a_{n}\right\}$是公差为$\lg q$的等差数列.

    (8)在数列$\left\{a_{n}\right\}$中,连续取相邻$k$项的和(或积)构成公比为$q^{k}($或$q^{k^{2}} )$的等比数列.

  • 2.等差数列与等比数列的区别与联系

    剖析等差数列与等比数列的区别与联系如下表所示.

     

    等差数列

    等比数列

    (1)强调每一项与前一项的差

    (1)强调每一项与前一项的比

    (2)$a_{1}$和$d$可以为0

    (2)$a_{1}$与$q$均不为0

    (3)任意两个实数的等差中项唯一

    (3)两个同号实数(不为0)的等比中项有两个值

    (4)当$m+n \\ =p+q \\ \left(m, n, p, q \in \mathbf{N}^{*}\right)$

    $a_{m}+a_{n}  =a_{p}+a_{q^{*}}$

    (4)当$m+n \\ =p+q \\ \left(m, n, p, q \in \mathbf{N}^{*}\right)$

    $a_{m} a_{n}  =a_{p} a_{q}$

     

    等差数列

    等比数列

    (1)都强调每一项与其前一项的关系;(2)结果都必须是常数;(3)数列都可以由$a_{1}, d$或$a_{1, q}$确定;(4)若数列$\left\{a_{n}\right\}$为正项等比数列,则数列$\left\{\log _{m} a_{n}\right\}$为等差数列,其中$m>0$,且$m \neq 1$;(5)若数列$\left\{a_{n}\right\}$为等差数列,则数$\left\{b^{a_{n}}\right\}$;(6)非零常数列既是等差数列,又是等比数列

例题解析
  • 等比数列的性质的应用

    【例1】 已知在等比数列$\left\{a_{n}\right\}$中,$a_{2} a_{6} a_{10}=1$,求$a_{3} a_{9}$.

    分析既可以利用通项公式计算,也可以运用等比数列的性质计算

    反思

    在等比数列的有关运算中,常涉及次数较高的指数运算,若按常规解法,往往是建立关于$a_{1}$和q的方程(组),这样解起来比较麻烦.而利用等比数列的性质,进行整体变换,会起到化繁为简的效果.

    【变式训练1】 (1)已知在等比数列$\left\{a_{n}\right\}$中,$a_{4}=7, a_{6}=21$,则$a_{12}=$____________; 

    (2)已知数列$\left\{a_{n}\right\}$为等比数列,若$a_{n}>0$,且$a_{2} a_{4}+2 a_{3} a_{5}+a_{4} a_{6}=36$,则$a_{3}+a_{5}=$____________; 

    (3)在等比数列$\left\{a_{n}\right\}$中,若公比$q>1$,且$a_{2} a_{8}=6, a_{4}+a_{6}=5$,则$\frac{a_{5}}{a_{7}}=$__________.

  • 等比中项的应用

    【例2】 已知四个数,前三个数成等差数列,后三个数成等比数列,中间两数之积为16,前后两数之积为-128,求这四个数.

    分析适当地设这四个数是解决本题的关键.可利用a,q表示四

    反思

    合理地设出所求的数是解决此类问题的关键.一般地,三个数成等比数列,可设为$\frac{a}{q}, a, a q$;三个数成等差数列,可设为$a-d, a, a+d$.

    【变式训练2】 (1)在等比数列$\left\{a_{n}\right\}$中,若$a_{3}=-9, a_{7}=-1$,则$a_{5}$的值(  ).

    A.是3或-3  B.是3

    C.是-3  D.不存在

  • 易错辨析

    易错点:忽视等比数列中项的符号致错

    【例3】 在等比数列$\left\{a_{n}\right\}$中,$a_{5}, a_{9}$是方程$7 x^{2}-18 x+7=0$的两个根,则$a_{7}=$___________. 

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