函数的最大(小)值与导数

时间:2019-9-9 19:05:02   作者:数学名师王老师
1.理解最值的概念,了解函数的最值与极值的区别和联系.
2.会用导数求在给定区间上函数的最大值、最小值.
知识点
  • 1.一般地,如果在区间$[a, b]$上函数$y=f(x)$的图象是一条连续不断的曲线,那么它必有最大值和最小值.

    归纳总结
    1.一个函数在闭区间上连续,一定有最大值和最小值,但不一定有极值.如$f(x)=x, x \in[a, b]$.

    2.一个函数在闭区间上连续,则只有一个最大值和最小值,但可以有多个极值.

    3.最值可能是某个极值,也可能是区间端点处的函数值.

  • 2.求函数$y=f(x)$在$[a, b]$上的最值的步骤:

    (1)求函数$y=f(x)$在$(a,b$)内的极值;

    (2)将函数$y=f(x)$的各极值与端点处的函数值$f(a),f(b)$比较,其中最大的一个是最大值,最小的一个是最小值.

    【做一做1】 给出下列四个命题:

    ①若函数$f(x)$在$[a, b]$上有最大值,则这个最大值一定是$[a, b]$上的极大值;

    ②若函数$f(x)$在$[a, b]$上有最小值,则这个最小值一定是$[a, b]$上的极小值;

    ③若函数$f(x)$在$[a, b]$上有最值,则最值一定在x=a或x=b处取得;

    ④若函数$f(x)$在$(a, b)$内连续,则$f(x)$在$(a, b)$内必有最大值与最小值.

    其中真命题共有(  )

    A.0个  B.1个

    C.2个  D.3个

    解析:

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    当函数在闭区间上的最值在端点处取得时,其最值一定不是极值

    blob.png

    blob.png

    函数在闭区间上的最值可以在端点处取得,也可以在内部取得

    blob.png

    单调函数在开区间$(a, b)$内无最值

    答案:A

    【做一做2】 给出下列四个命题:

    ①函数$y=\tan x$在$\left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right)$内有最值;

    ②函数$y=\sin x$在$[0, \pi]$上既有最大值,又有最小值;

    ③函数$y=x(x-2)$在$\left(\frac{1}{2}, 2\right]$内只有最大值,没有最小值;

    ④函数$y=2^{x}$在$(-\infty, 0)$内无最值.

    其中是真命题的是______.(填序号) 

    解析:分别作出四个函数的图象:

    blob.png


    由图象可知命题②④是真命题.

    答案:②④

    【做一做3】 求函数$f(x)=x^{3}-4 x^{2}-3 x$在区间[1,4]上的最大值和最小值.

    解:$f^{\prime}(x)=3 x^{2}-8 x-3$.

    令$f^{\prime}(x)=3 x^{2}-8 x-3=0$ 则$x=-\frac{1}{3}$或$x=3$.

    $f^{\prime}(x), f(x)$随$x$的变化情况如下表:

    $x$

    $1$

    $(1,3)$

    $3$

    $(3,4)$

    $4$

    $f^{\prime}(x)$

     

    $-$

    $0$

    $+$

     

    $f(x)$

    $-6$

    $\searrow$

    $-18$

    $\nearrow$

    $-12$


    故$f(x)$在区间$[1,4]$上的最小值是$f(3)=-18$,最大值是$f(1)=-6$.

重难点
  • 1.函数最值与极值的区别和联系

    剖析如果函数在某些点处连续但不可导,也需要考虑这些点是否是函数取得最大值和最小值的点.

    (1)在开区间$(a, b)$内连续的函数$f(x)$不一定有最大值与最小值.如函数$f(x)=\frac{1}{x}$在($0,+\infty$)内连续,但没有最大值与最小值.

    (2)函数的极值是函数在某一点附近的局部概念,函数的最大值和最小值是一个整体性概念.函数的最值是比较某个闭区间内的函数值得出的;函数的极值是比较极值点附近的函数值得出的.

    (3)函数$f(x)$在闭区间$[a, b]$上连续,是$f(x)$在闭区间$[a, b]$上有最大值与最小值的充分条件而非必要条件.

    (4)函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个,而函数的极值可能不止一个,也可能没有.

    (5)极值只能在区间内取得,最值则可以在端点处取得.有极值的未必有最值,有最值的未必有极值;极值有可能成为最值,最值不在端点处取得时必定是极值.

  • 2.求最值的方法

    剖析利用导数法求最值,实质是通过比较某些特殊的函数值得到最值,因此,我们可以在导数法求最值的思路的基础上进行变通.令$f^{\prime}(x)=0$得到方程的根$x_{1}, x_{2}, \ldots$,直接求得函数值$f\left(x_{1}\right), f\left(x_{2}\right), \ldots$,然后与端点的函数值比较就可以了,省略了判断极值的过程.当然把导数法与函数的单调性相结合,也可以求最值.

例题解析
  • 题型一

    【例1】 求下列函数的最值:

    $(1) f(x)=-x^{3}+3 x, x \in[-\sqrt{3}, \sqrt{3}]$

    $(2) f(x)=-x^{3}+2 x^{2}+3, x \in[-3,2]$

    分析使导数为0的点的函数值与端点处的函数值比较. 

    反思
    1.求闭区间上可导函数的最值时,可不再判断函数的极值是极大值还是极小值,只需要把极值直接与端点的函数值比较即可获得.

    2.当连续函数的极值点只有一个时,相应的极值必为函数的最值.

    【变式训练1】 求下列函数的最值:

    $(1) f(x)=\ln x-x, x \in(0, \mathrm{e}]$

    $(2) f(x)=\frac{1}{3} x 3-4 x+4, x \in[0,3]$

  • 题型二 由函数的最值求参数

    【例2】 已知函数$f(x)=a x^{3}-6 a x^{2}+c$在$[-1,2]$上的最大值为3,最小值为-29,求$a,c$的值.

    分析因为$f^{\prime}(x)=3 a x^{2}-12 a x=3 a x(x-4)$),所以$f^{\prime}(x)$的符号与a有关,从而影响到函数何时取到最大值和最小值,因此本题需要对$a$进行分类讨论.

    反思解决本题时,可以综合地运用求解函数的最大(小)值的方法确定参数$a,c$的值.解题的关键在于对函数中的参数$a$进行讨论,确定函数的极值以及最大(小)值在哪一点处取得.而且当$x_{0}$为闭区间上的唯一极值点时,则由极大(小)值点可进一步断定$x_{0}$为该区间上函数的最大(小)值点.

    【变式训练2】 已知函数$f(x)=a x^{2}+1(a>0), g(x)=x^{3}+b x$.

    (1)若曲线$y=f(x)$与曲线$y=g(x)$在它们的交点$(1, c)$处具有公共切线,求$a,b$的值;

    (2)当$a=3, b=-9$时,若函数$f(x)+g(x)$在区间$[k, 2]$上的最大值为28,求$k$的取值范围.

  • 题型三 与函数最值有关的恒成立问题

    【例3】 设函数$f(x)=t x^{2}+2 t^{2} x+t-1(x \in \mathbf{R}, t>0)$.

    (1)求$f(x)$的最小值$h(t)$;

    (2)若$h(t)<-2 t+m$对$t \in(0,2)$恒成立,求实数m的取值范围.

    分析(1)利用二次函数求$h(t) ;(2) h(t)<-2 t+m$对$t \in(0,2)$恒成立等价于$g(t)=h(t)+2 t-m < 0$对$t \in(0,2)$恒成立,所以,只需求出$g(t)$的最大值,令$g(t)_{\max } < 0$,可求出$m$的取值范围.

    反思1.“恒成立”问题向最值问题转化是一种常见的题型,一般地,可采用分离参数法进行转化.$\lambda>f(x)$恒成立$\Leftrightarrow \lambda \geq[f(x)]_{\max } ; \lambda \leq f(x)$恒成立$\Leftrightarrow \lambda \leq[f(x)]_{\min }$.对于不能分离参数的恒成立问题,直接求含参数函数的最值即可.

    2.此类问题特别要小心“最值能否取得到”和“不等式中是否含等号”的情况,以此来确定参数的范围能否取得“$=$”.

    【变式训练3】 已知函数$f(x)=x^{3}-a x^{2}+b x+c(a, b, c \in \mathbf{R})$.

    (1)若函数$f(x)$在$x=-1$和$x=3$处取得极值,试求$a,b$的值;

    (2)在(1)的条件下,当$x \in[-2,6]$时,$f(x) < 2|c|$恒成立,求$c$的取值范围.

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