双曲线及其标准方程

时间:2019-9-9 19:05:05   作者:数学名师王老师
1.了解双曲线的定义,几何图形和标准方程.
2.会求双曲线的标准方程.
3.会利用双曲线的定义和标准方程解决简单问题.
知识点
  • 1.双曲线的概念

    (1)双曲线的定义.

    平面内与两个定点$F_{1}, F_{2}$的距离的差的绝对值等于非零常数(小于$\left|F_{1} F_{2}\right|$)的点的轨迹叫做双曲线.

    (2)双曲线的焦点与焦距.

    双曲线定义中的两个定点$F_{1}, F_{2}$叫做焦点,两个焦点间的距离叫做焦距.

    归纳总结
    在双曲线的定义中,在$0 < 2 a < \left|F_{1} F_{2}\right|$的条件下,当 $\left|P F_{2}\right|-\left|P F_{1}\right|=2 a$时为双曲线的一支(含$F_{2}$的一支);当$\left|P F_{2}\right|-\left|P F_{1}\right|=2 a$时为双曲线的另一支(含$F_{1}$的一支).当$2 a=\left|F_{1} F_{2}\right|$时,$\| P F_{1}|-| P F_{2}| |=2 a$表示两条射线;当$2 a > \left|F_{1} F_{2}\right|$时,$| | P F_{1}|-| P F_{2}| |=2 a$不表示任何图形. . .

    【做一做1】 动点P到点$M(1,0), N(-1,0)$的距离之差的绝对值为2,则点P的轨迹是(  )

    A.双曲线  B.双曲线的一支

    C.两条射线  D.一条射线

    答案:C

  • 2.双曲线的标准方程

    (1)焦点在x轴上的双曲线的标准方程

    是 $\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>0, b>0)$,焦点$F_{1}(-c, 0), F_{2}(c, 0)$.

    (2)焦点在y轴上的双曲线的标准方程

    是$\frac{y^{2}}{a^{2}}-\frac{x^{2}}{b^{2}}=1(a>0, b>0)$,焦点$F_{1}(0,-c), F_{2}(0, c)$.

    (3)在双曲线中,$a, b, c$的关系为$c^{2}=a^{2}+b^{2}$.

    归纳总结
    给定双曲线的标准方程,若含$x^{2}$项的系数为正,则焦点在x轴上;若含$y^{2}$项的系数为正,则焦点在y轴上.可以简记为“谁正在谁上”.

    【做一做2-1】 双曲线$\frac{x^{2}}{3}-\frac{y^{2}}{2}=1$的焦点坐标是(  )

    A. $( \pm \sqrt{5}, 0) \mathrm{B} \cdot(0, \pm \sqrt{5})$

    $\mathrm{C} \cdot( \pm 1,0) \quad \mathrm{D} \cdot(0, \pm 1)$

    解析:$\because$焦点在x轴上,且$c^{2}=a^{2}+b^{2}=5$

    $\therefore c=\sqrt{5}, \therefore$焦点坐标为$( \pm \sqrt{5}, 0)$.

    答案:A 

    【做一做2-2】 以$F_{1}(-4,0), F_{2}(4,0)$为焦点,且经过点$M(3, \sqrt{15})$的双曲线的标准方程为___________. 

    解析:由焦点在x轴上可设标准方程为$\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>0, b>0)$.

    由双曲线的定义,得$\| M F_{1}|-| M F_{2}| | \\ =\left|\sqrt{7^{2}+(\sqrt{15})^{2}}-\sqrt{(-1)^{2}+(\sqrt{15})^{2}}\right| \\ =|8-4|=4=2 a$
    ,解得a=2.

    又$\because c=4, \therefore b^{2}=c^{2}-a^{2}=12$.

    故双曲线的标准方程为 $\frac{x^{2}}{4}-\frac{y^{2}}{12}=1$.

    答案:$\frac{x^{2}}{4}-\frac{y^{2}}{12}=1$

重难点
  • 1.求双曲线的标准方程的方法

    剖析:求双曲线方程一般可采用待定系数法,其解题方法是先定位,再定量.“定位”是指除了中心在原点之外,还要判断焦点在哪条坐标轴上,以便使方程的右边为1时,确定方程的左边哪一项为正,哪一项为负,同时也就确定了焦点的位置.要求双曲线的标准方程,就是要求出$a^{2}$和$b^{2}$这两个“待定系数”,于是需要两个独立的条件,并按条件列出关于$a^{2}$和$b^{2}$的方程组.解得$a^{2}$和$b^{2}$的具体数值后,再按位置特征写出标准方程,因此“定量”是指$a, b, c$等数值的确定.解题步骤分为:首先判断焦点的位置,其次求出关键数据,最后写出双曲线方程.

    因此,确定一个双曲线的标准方程需要三个条件:两个定量条件:$a, b$,一个定位条件:焦点位置.

  • 2.椭圆和双曲线的比较

    剖析:

     

    椭圆

    双曲线

    定义


    $\left|P F_{1}\right|+\left|P F_{2}\right|=$

    2$a\left(2 a>\left|F_{1} F_{2}\right|\right)$



    $\left\|P F_{1}|-| P F_{2}\right\|=$

    2$a\left(2 a<\left|F_{1} F_{2}\right|\right)$


    方程

    $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}} \\ =1 \\ (a>b  \\ >0)$

    $\frac{y^{2}}{a^{2}}+\frac{x^{2}}{b^{2}} \\ =1 \\ (a>b  \\ >0)$


    $\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}} \\ =1 \\ (a>0, \\ b>0)$

    $\frac{y^{2}}{a^{2}}-\frac{x^{2}}{b^{2}} \\ =1 \\ (a>0, \\ b>0)$

    焦点

    $F( \pm c, 0)$

    $F(0, \pm c)$

    $F( \pm c, 0)$

    $F(0, \pm c)$

    $a, b, c$

    的关系

    $c^{2}=a^{2}-b^{2}$

    $c^{2}=a^{2}+b^{2}$

    知识拓展
    方程$\frac{x^{2}}{m}+\frac{y^{2}}{n}=1$既可以表示椭圆又可以表示双曲线.

    当方程表示椭圆时,$m,n$应满足$m>n>0$或$n>m>0$.

    当方程表示双曲线时,$m,n$应满足$mn < 0$;当$m>0,n < 0$时,方程表示焦点在x轴上的双曲线;当$m < 0,n>0$时,方程表示焦点在$y$轴上的双曲线.

    若已知双曲线的中心在原点,焦点在坐标轴上,但不确定焦点在哪一个坐标轴上,则双曲线的方程可设为$\frac{x^{2}}{m}+\frac{y^{2}}{n}=1(m n < 0)$或$m x^{2}+n y^{2}=1, m n < 0 )$.

例题解析
  • 双曲线的定义

    【例1】 若方程$\frac{x^{2}}{2-m}+\frac{y^{2}}{|m|-3}=1$表示双曲线,则m的取值范围是什么?

    分析:由双曲线的标准方程可知,若方程$\frac{x^{2}}{2-m}+\frac{y^{2}}{|m|-3}=1$表示双

    曲线,则$(2-m)(|m|-3) < 0$.解此不等式即可得$m$的取值范围.

    反思
    由方程判断曲线类型,主要看其分母,再结合双曲线、椭圆的不同要求,构造关于分母中参数的方程(组)或不等式(组)即可求得.

    【变式训练1】 下列命题是真命题的是___________.(将所有真命题的序号都填上) 

    ①已知定点$F_{1}(-1,0), F_{2}(1,0)$,则满足$\left|P F_{1}\right|-\left|P F_{2}\right|=\sqrt{2}$ 的点$P$的轨迹为双曲线;

    ②已知定点$F_{1}(-2,0), F_{2}(2,0)$,则满足$| | P F_{1}|-| P F_{2}| |=4$的点$P$的轨迹为双曲线;

    ③到定点$F_{1}(-3,0), F_{2}(3,0)$距离之差的绝对值等于7的点$P$的轨迹为双曲线;

    ④若点P到定点$F_{1}(-4,0), F_{2}(4,0)$的距离的差的绝对值等于点$M(1,2)$到点$N(-3,-1)$的距离,则点$P$的轨迹为双曲线.

  • 求双曲线的标准方程

    【例2】 (1)求与椭圆 $\frac{x^{2}}{25}+\frac{y^{2}}{5}=1$有共同焦点,且过点$(3 \sqrt{2}, \sqrt{2})$的双曲线的标准方程;

    (2)已知双曲线的焦点在y轴上,并且双曲线上两点$P_{1,} P_{2}$的坐标分别为$(3,-4 \sqrt{2}),\left(\frac{9}{4}, 5\right)$,求双曲线的标准方程.

    分析:第(1)题由椭圆的方程确定焦点坐标,可求得c,设双曲线方程为$\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>0, b>0)$,用待定系数法可求得$a^{2}, b^{2}$;第(2)题可先设出标准方程,再把点$P_{1,} P_{2}$的坐标代入方程,联立方程组,求出$a^{2}, b^{2}$的值.

    反思
    求解双曲线的方程主要是依据题目给出的条件确定$a^{2}, b^{2}$的值,要注意焦点在哪个坐标轴上;求解过程中也可以用换元思想.

    【变式训练2】 根据下列条件,求双曲线的标准方程:

    (1)过点$P\left(3, \frac{15}{4}\right), Q\left(-\frac{16}{3}, 5\right)$,焦点在坐标轴上.

    (2)与双曲线$\frac{x^{2}}{16}-\frac{y^{2}}{4}=1$有相同的焦点,经过点$(3 \sqrt{2}, 2)$.

  • 双曲线定义的应用

    【例3】 已知双曲线$\frac{x^{2}}{9}-\frac{y^{2}}{16}=1$的左、右焦点分别是$F_{1}, F_{2}$,若双曲线上一点P使得$\angle F_{1} P F_{2}=90^{\circ}$,求$\Delta F_{1} P F_{2}$的面积.

    分析:如图所示,$S_{\Delta F_{1} P F_{2}}=\frac{1}{2}\left|P F_{1}\right| \cdot\left|P F_{2}\right|$.结合双曲线的定义可求出$\left|P F_{1}\right| \cdot\left|P F_{2}\right|$的值,面积即可求得.

    反思
    此类问题一般结合双曲线的定义和正弦定理、余弦定理来解决,要注意整体思想的应用.

    【变式训练3】 如图,从双曲线$\frac{x^{2}}{3}-\frac{y^{2}}{5}=1$的左焦点F引圆$x^{2}+y^{2}=3$的切线$FP$交双曲线右支于点$P,T$为切点,$M$为线段$FP$的中点,$O$为坐标原点,则$|M O|-|M T|=(\quad)$

    blob.png

    A. $\sqrt{3} \mathrm{B} \cdot \sqrt{5}$

    C. $\sqrt{5}-\sqrt{3} \mathrm{D} \cdot \sqrt{5}+\sqrt{3}$

  • 易错辨析

    易错点 忽视k的正负致错

    【例4】 双曲线$2 x^{2}-y^{2}=k$的焦距为6,求$k$的值.

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