定积分在几何中的应用

时间:2019-9-9 19:05:02   作者:数学名师王老师
1.体会定积分在解决几何问题中的作用.
2.会通过定积分求由两条或多条曲线围成的图形的面积.
知识点
  • 1.利用定积分求曲边多边形的面积

    (1)在利用定积分求平面图形的面积时,一般要先画出它的草图,再借助图形直观确定出被积函数以及积分的上、下限.

    (2)若一平面图形是由$y=f_{1}(x), y=f_{2}(x)$所围成,并且在$x=a_{x} x=b(a < b)$,并且在$[a, b]$上$f_{1}(x) \leqslant f_{2}(x)$则该平面图形的面积$S=\int_{a}^{b}\left[f_{2}(x)-f_{1}(x)\right] \mathrm{d} x$.

    【做一做1】 如图,阴影部分的面积为(  )

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    A. $\int_{a}^{b} f(x) \operatorname{dx} \mathrm{B} \int_{a}^{b} g(x) \mathrm{d} x$

    C. $\int_{a}^{b}[f(x)-g(x)] \mathrm{d} x \mathrm{D} . \int_{a}^{b}[g(x)-f(x)] \mathrm{d} x$

  • 2.曲边梯形的面积和其上、下两个边界所表示的函数的关系

    (1)如图①,阴影部分的面积为$S=-\int_{0}^{a} g(x) \mathrm{d} x+\int_{0}^{a} f(x)_{\mathrm{d} x} \\ =\int_{0}^{a}[f(x)-g(x)] \mathrm{d} x$.

    (2)如图②,阴影部分的面积为$S=\int_{0}^{b}[f(x)-g(x)] \mathrm{d} x+\int_{b}^{a}[f(x)-c(x)] \mathrm{d} x$.所以,曲边梯形的面积等于曲边梯形上、下两个边界所表示的函数的差的定积分.

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    【做一做2】 用S表示图中阴影部分的面积,则S的值是 ( )

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    A. $\int_{a}^{c} f(x) \mathrm{d} x$

    B. $\left|\int_{a}^{C} \mathrm{f}(\mathrm{X}) \mathrm{d} x\right|$

    C. $\int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x+\int_{b}^{c} f(x) \mathrm{d} x$

    D. $\int_{b}^{c} f(x) \mathrm{d} x-\int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x$

    解析:由定积分的几何意义知$S=\int_{b}^{c} f(x) \mathrm{d} x-\int_{a}^{b} f(x)_{\mathrm{d} x}$.故选D.

    答案:D

重难点
  • 1.几种典型的平面图形面积的计算

    剖析: (1)求由曲线$y=f(x)$和直线$x=a, x=b(a < b)$及$y=0$所围成的平面图形的面积S.

    ①如图$\mathrm{a}_{\mathfrak{v}} f(x)>0, \int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x>0$,

    $\therefore S=\int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x$.

    ②如图$\mathrm{b}, f(x) < 0, \int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x < 0$,

    $\therefore S=\left|\int_{a}^{b} \mathbf{f}(\mathbf{X}) \mathrm{d} x\right|=-\int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x$.

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    ③如图c,当$a \leqslant x < c$ 时,$f(x) < 0, \int_{a}^{c} f(x) \mathrm{d} x < 0$;

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    当$c < x \leqslant b $ 时,$f(x) > 0, \int_{\mathrm{C}}^{b} f(\mathrm{X})_{\mathrm{dx}}>0$,

    $\therefore S=\left|\int_{a}^{c} \mathrm{f}(\mathrm{X}) \mathrm{d} x\right|+\int_{c}^{b} f(x) \mathrm{d} x$

    $=-\int_{a}^{c} f(x) \mathrm{d} x+\int_{c}^{b} f(x) \mathrm{d} x$

    (2)由两条曲线$f(x)$和$g(x)$),直线$x=a, x=b(a < b)$所围成的平面图形的面积$S$.

    ①如图$d$,当$f(x)>g(x)>0$时,

    $S=\int_{a}^{b}[f(x)-g(x)] \mathrm{d} x$

    ②如图$e$,当$f(x)>0, g(x) < 0$时,

    $\begin{aligned} S=\int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x+| & \int_{a}^{b} \mathbf{g}(\mathrm{X}) \mathrm{d} x | \\ &=\int_{a}^{b}[f(x)-g(x)] \mathrm{d} x \end{aligned}$

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  • 2.求曲边多边形的面积的步骤有哪些?

    剖析: (1)画出图形,确定图形范围.即借助几何知识将所求图形的面积问题转化为求两个曲边梯形的面积问题.

    (2)确定积分上、下限.即通过解方程组求出交点的横坐标,确定积分上、下限.

    (3)确定被积函数,要特别注意分清被积函数的上、下位置.

    (4)写出平面图形面积的定积分表达式,运用微积分基本定理计算定积分,从而求出平面图形的面积.

例题解析
  • 不分割型图形面积的求解

    【例1】 求由抛物线$y=x^{2}-4$与直线$y=-x+2$所围成图形的面积.

    分析:在平面直角坐

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    反思

    求不分割型图形面积的一般步骤如下:

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    同时,要注意区别定积分与利用定积分计算曲线所围图形的面积:定积分可正、可负或为零;而平面图形的面积总是正的.

    【变式训练1】 已知二次函数$y=f(x)$的图象如图所示,则它与$x$轴所围成的图形的面积为(  )

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    A. $\frac{2 \pi}{5} \mathrm{B} \cdot \frac{4}{3}$

    C. $\frac{3}{2} \mathrm{D} \cdot \frac{\pi}{2}$

  • 分割型图形面积的求解

    【例2】 求由曲线$y=\sqrt{x}$,直线$y=2-x, y=-\frac{1}{3} x$所围成图形的面积$S$.

    分析:可先求出曲线与直线交点的横坐标,确定积分区间,然后分段利用公式求解.

    反思

    由两条或两条以上的曲线围成的较为复杂的图形,在不同的区间段内位于上方和下方的函数有所变化,通过解方程组求出曲线的不同的交点坐标,可以将积分区间进行细化区段,然后根据图象对各个区段分别求面积进而求和,在每个区段上被积函数均是由上减下.

    【变式训练2】 求曲线$y=x^{2}$,直线$y=x, y=3 x$围成的图形的面积$S$.

  • 综合应用

    【例3】 如图,在曲线$C : y=x^{2}, x \in[0,1]$上取点$P\left(t, t^{2}\right)$,过点$P$作$x$轴的平行线$l$.曲线$C$与直线$x=0, x=1$及直线$l$围成的图形包括两部分,面积分别记为$S_{1}, S_{2}$.

     blob.png

    (1)求$t$的值,使$S_{1}=S_{2}$;

    (2)求$t$的值,使$S=S_{1}+S_{2}$最小.

    分析:应先根据题意及用定积分求曲边多边形面积的方法得出用$t$表示的两图形的面积$S_{1}, S_{2}$的表达式,再根据各小题的条件求解.

    反思

    涉及不规则平面图形的面积问题,都可考虑采用定积分来处理,在解决此类问题时,要注意两点:(1)利用定积分正确地表示各相关量间的关系;(2)定积分的正确计算.

  • 易错辨析

    易错点:被积函数上下限不对应而致错

    【例4】 求由抛物线$y^{2}=8 x(y \geq 0)$与直线$x+y-6=0$及$y=0$所围成图形的面积S.

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