平行射影

时间:2019-9-9 19:05:03   作者:数学名师王老师
1.掌握正射影的概念,理解平行射影的概念,能确定平行射影的形状.
2.掌握椭圆的定义,知道椭圆是圆柱的一种截面.
知识点
  • 1.正射影

    (1)定义:给定一个平面$\alpha$,从一点$A$作平面$\alpha$的垂线,垂足为点$A^{\prime}$.称点$A^{\prime}$为点$A$在平面$\alpha$上的正射影.一个图形上各点在平面$\alpha$上的正射影所组成的图形,称为这个图形在平面$\alpha$上的正射影.

    (2)圆面的正射影:一个圆所在的平面$\beta$与平面$\alpha$平行,那么该圆在平面$\alpha$上的正射影显然是一个圆,并且是和原来的圆相同的圆;如果圆所在的平面$\beta$与平面$\alpha$不平行且不垂直时,从生活经验我们知道,正射影的形状发生了变化,就好像一个圆被压扁了,我们称之椭圆;如果圆所在的平面$\beta$与平面$\alpha$垂直时,那么该圆在平面$\alpha$上的正射影是一条线段,其长度等于圆的直径.

    名师点拨

    一个图形在一个平面上的正射影与图形和平面的位置有关,如一条直线,当它和平面$\alpha$垂直时,它在平面$\alpha$上的正射影是一个点;当它和平面$\alpha$斜交时,它在平面$\alpha$上的正射影是一条直线;它和平面$\alpha$平行时,它在平面$\alpha$上的正射影是一条与原直线平行的直线.

    【做一做1】 $\triangle A B C$在平面$\alpha$上的正射影是(  )

    A.三角形 

    B.直线

    C.线段 

    D.三角形或线段

    解析:当$\triangle A B C$所在平面垂直于$\alpha$时,$\triangle A B C$C在$\alpha$上的正射影是一条线段,否则是三角形.

    答案:D

  • 2.平行射影

    定义:设直线$l$与平面$\alpha$相交(如图),称直线$l$的方向为投影方向.过点$A$作平行于$l$的直线(称为投影线)必交$\alpha$于一点$A^{\prime}$,称点$A^{\prime}$为A沿$l$的方向在平面$\alpha$上的平行射影.一个图形上各点在平面$\alpha$上的平行射影所组成的图形,叫做这个图形的平行射影.

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    显然,正射影是平行射影的特例.

    归纳总结
    平行射影的性质:

    (1)直线的平行射影是直线或一个点,线段的平行射影是线段或一个点;

    (2)平行直线的平行射影是平行或重合的直线或两个点;

    (3)平行于投影面的线段,它的平行射影与这条线段平行且等长;

    (4)与投影面平行的平面图形,它的平行射影与这个图形全等;

    (5)在同一直线或平行直线上的两条线段的平行射影(不是点)的比等于这两条线段的比.

    【做一做2】 两条异面直线$m$和$n$在平面$\alpha$上的平行射影是(  )

    A.一条直线和直线外一个点

    B.两条相交直线

    C.两条平行直线

    D.以上都有可能

    解析:当$m$和$n$中有一条直线与投影方向平行时,它们的平行射影是一个点和一条直线;否则是两条平行直线或相交直线.

    答案:D

  • 3.椭圆

    (1)定义:平面上到两个定点的距离之和等于定长的点的轨迹叫做椭圆.

    (2)抽象概括:用一个平面去截一个圆柱,当平面与圆柱的两个底面平行时,截面是一个圆;当平面与圆柱的两个底面不平行时,截面是一个椭圆(如图).

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    【做一做3】 平面上两个定点$A$和$B$的距离为5,动点$P$到点$A,B$的距离之和为常数$m$,若动点$P$的轨迹是椭圆,则$m$的取值范围是(  )

    $\begin{array}{ll}{\mathrm{A} .(0,5)} & {\mathrm{B} .(5,+\infty)} \\ {\mathrm{C.}(0,+\infty)} & {\mathrm{D.R}}\end{array}$

    解析:当$m < 5$时,不表示任何图形;当$m=5$时,轨迹是线段$ab$;当$m>5$时,轨迹是椭圆.

    答案:B

重难点
  • 1.平行射影与正射影的区别与联系

    剖析:对于平行射影,取不同的投影方向,同一个图形的平行射影也有所不同,正射影就是平行射影中投影方向与平面垂直时的一种特殊情况.因而我们可以从两个不同的角度加以考虑,并且要注意这二者的区别与联系,从而完整、全面地看待问题.

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    例如,如图,直线$l$与平面$\alpha$所成的角是$45^{\circ}$,交点为$A$.在$l$上取不同于点$A$的一点$B$,过点$B$作$B C \perp \alpha$,垂足为$C$.则$l$在平面$\alpha$上的正射影是直线$AC$.当投影方向与$l$相同时,$l$在平面$\alpha$上的平行射影是一个点,即点$A$;当投影方向垂直于平面$\alpha$时,$l$在平面$\alpha$上的平行射影是直线$AC$,此时平行射影和正射影是相同的.

  • 2.点的射影与图形的射影的区别与联系

    剖析:图形是由点组成的集合,因而图形的射影是被投影图形上各点在平面α上的射影的集合,所以,要找到一个图形的射影只需找到组成这个图形的关键点的射影即可.

例题解析
  • 题型一 对平行射影的理解

    【例1】 下列说法正确的是(  )

    A.正射影和平行射影是两种截然不同的射影

    B.投影线与投影平面有且只有一个交点

    C.投影方向可以平行于投影平面

    D.一个图形在某个平面上的平行射影是唯一的

    反思

    图形的平行射影与两个因素有关:一个是投影方向,一个是投影平面.正确理解平行射影的有关概念,是解决平行射影问题的关键.

    【变式训练1】 若一个三角形的平行射影仍是一个三角形,则下列结论正确的是(  )

    A.内心的平行射影还是内心

    B.重心的平行射影还是重心

    C.垂心的平行射影还是垂心

    D.外心的平行射影还是外心

  • 题型二 判断平行射影的形状

    【例2】 如图,已知点$E,F$分别为正方体的面$A D D_{1} A_{1}$,面$B C C_{1} B_{1}$的中心,则四边形$B F D_{1} E$在该正方体的面上的正射影可能是_________.(要求:把可能的图的序号都填上) 

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    反思

    判断平行射影的形状时,常常先确定图形中各顶点的射影,再依次连接各顶点的射影即可;同一图形在平行平面上的平行射影是相同的.

    【变式训练2】 如图,在正方体$^{A B C D-A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}}$中,$E,F$分别是$A A_{1}, D_{1} C_{1}$的中点,G是正方形$B C C_{1} B_{1}$的中心,画出空间四边形$A E F G$在该正方体的面$D C C_{1} D_{1}$上的正投影.

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  • 题型三  易错辨析

    易错点:不能准确理解平行射影的概念而致错

    【例3】 已知线段$AB,CD$在同一平面内的正射影相等,则线段$AB,CD$的长度关系为(  )

    A.AB>CD  B.AB < CD

    C.AB=CD  D.无法确定

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