一般形式的柯西不等式

时间:2019-9-9 19:05:03   作者:数学名师王老师
1.掌握三维形式和多维形式的柯西不等式.
2.会利用一般形式的柯西不等式解决简单问题.
知识点
  • 1.三维形式的柯西不等式

    设$a_{1}, a_{2}, a_{3}, b_{1}, b_{2}, b_{3}$是实数,则

    $\left(a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+a_{3}^{2}\right)\left(b_{1}^{2}+b_{2}^{2}+b_{3}^{2}\right) \\ \geqslant\left(a_{1} b_{1}+a_{2} b_{2}+a_{3} b_{3}\right)^{2}$
    ,当且仅当$b_{i}=0(i=1,2,3)$或存在一个数k,使得$a_{i}=k b_{i}(i=1,2,3)$时等号成立.

    【做一做1-1】 已知$x, y, z>0$,且$x+y+z=1$,则$x^{2}+y^{2}+z^{2}$的最小值是(  )

    $\begin{array}{llll}{\text { A.1 }} & {\text { B. } \frac{1}{3}} & {\text { C. } \frac{1}{2}} & {\text { D.3 }}\end{array}$

    解析:由柯西不等式得$\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right) \cdot\left(1^{2}+1^{2}+1^{2}\right) \\ \geqslant(x+y+z)^{2}=1$,即$x^{2}+y^{2}+z^{2} \geqslant \frac{1}{3}$,当且仅当$x=y=z=\frac{1}{3}$时,等号成立.故所求最小值为$\frac{1}{3}$.

    答案:B

    【做一做1-2】 已知$a, b, c>0$,且$a+b+c=1$,则$\sqrt{3 a+1}+\sqrt{3 b+1}+\sqrt{3 c+1}$的最大值为(  )

    $\begin{array}{llll}{\text { A.3 }} & {\text { B.3 } \sqrt{2}} & {\text { C.18 }} & {\text { D.9 }}\end{array}$

    解析:由柯西不等式得$(\sqrt{3 a+1}+\sqrt{3 b+1}+\sqrt{3 c+1}) 2 \\ \leqslant(1+1+1)  \cdot(3 a+1+3 b+1+3 c+1)  \\ =3[3(a+b+c)+3]$

    $\because a+b+c=1$

    $\therefore(\sqrt{3 a+1}+\sqrt{3 b+1}+\sqrt{3 c+1}) 2 \\ \leqslant 3 \times 6=18$

    $\therefore \sqrt{3 a+1}+\sqrt{3 b+1}+\sqrt{3 c+1} \leq 3 \sqrt{2}$,当且仅当$a=b=c=\frac{1}{3}$时,等号成立.

    答案:B

  • 2.一般形式的柯西不等式

    设$a_{1}, a_{2}, a_{3}, \cdots, a_{n}, b_{1}, b_{2}, b_{3}, \cdots, b_{n}$是实数,则$\left(a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+\cdots+a_{n}^{2}\right)\left(b_{1}^{2}+b_{2}^{2}+\cdots+b_{n}^{2}\right) \\ \geqslant\left(a_{1} b_{1}+a_{2} b_{2}+\cdots+a_{n} b_{n}\right)^{2}$
    ,当且仅当$b_{i}=0(i=1,2, \cdots, n)$或存在一个数$k$,使得$a_{i}=k b_{l}(i=1,2, \cdots, n)$时,等号成立.

    归纳总结 尽可能地构造符合柯西不等式的形式.常用技巧有:(1)巧拆常数;(2)重新安排某些项的次序;(3)改变结构;(4)添项.

    【做一做2】 若$a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+\cdots+a_{n}^{2}=1, b_{1}^{2}+b_{2}^{2}+\cdots+b_{n}^{2}=4$,则$a 1 b 1+a 2 b 2+\dots+a n b n$的最大值为(  )

    A.1 B.-1 C.2 D.-2

    答案:C 

重难点
  • 1.一般形式的柯西不等式的应用

    剖析:我们主要利用柯西不等式来证明一些不等式或求值等问题,但往往不能直接应用,需要对数学式子的形式进行变化,拼凑出与一般形式的柯西不等式相似的结构,才能应用,因而适当变形是我们应用一般形式的柯西不等式的关键,也是难点.我们要注意在应用柯西不等式时,对于数学式子中数或字母的顺序要对比柯西不等式中的数或字母的顺序,以便能使其形式一致起来,然后应用解题.

  • 2.正确利用“1”

    剖析:数字“1”的利用非常重要,为了利用柯西不等式,除了拼凑应该有的结构形式外,对数字、系数的处理往往起到某些用字母所代表的数或式子所不能起的作用.这要求在理论上认识柯西不等式与实际应用时二者达到一种默契.教材例1中数字“1”的利用说明了处理问题与变形的灵活性.

例题解析
  • 题型一 三维形式的柯西不等式

    【例1】 在$\triangle A B C$中,设其各边长分别为$a, b, c$,外接圆半径为$R$,求证:$\left(a^{2}+b^{2}+c^{2}\right)\left(\frac{1}{\sin ^{2} A}+\frac{1}{\sin ^{2} B}+ \\ \frac{1}{\sin ^{2} C}\right) \geqslant 36 R^{2}$

    反思 

    由$a, b, c$构成新的数,形成三维形式的柯西不等式.这从所给的数学式的结构中看出,需要有较高的观察能力.

    【变式训练1】 设$a, b, c$为正数,求证:$\frac{a^{2}}{b}+\frac{b^{2}}{c}+\frac{c^{2}}{a} \geqslant a+b+c$.

  • 题型二 多维形式的柯西不等式

    【例2】 已知$a_{1}, a_{2}, \cdots, a_{n}$都是正实数,且$a_{1}+a_{2}+\dots+a_{n}=1$.

    求证:$\frac{a_{1}^{2}}{a_{1}+a_{2}}+\frac{a_{2}^{2}}{a_{2}+a_{3}}+\dots+\frac{a_{n-1}^{2}}{a_{n-1}+a_{n}}+\frac{a_{n}^{2}}{a_{n}+a_{1}} \geq \frac{1}{2}$.

    反思 

    通过本题不同的证明方法可以看出,无论用柯西不等式或其他重要不等式来证明,构造出所需要的某种结构是证题的难点,因此,对柯西不等式及其他重要不等式,要熟记公式的特点,能灵活变形,才能灵活应用.

    【变式训练2】 设$a_{1}, a_{2}, a_{3}, \cdots, \cdots, a_{n}$为实数,$b_{1}, b_{2}, b_{3}, \cdots, b_{n}$为正数,求证:$\frac{a_{1}^{2}}{b_{1}}+\frac{a_{2}^{2}}{b_{2}}+\frac{a_{3}^{2}}{b_{3}}+\dots+\frac{a_{n}^{2}}{b_{n}} \geq \frac{\left(a_{1}+a_{2}+a_{3}+\cdots+a_{n}\right)^{2}}{b_{1}+b_{2}+b_{3}+\cdots+b_{n}}$.

  • 题型三 柯西不等式的综合应用

    【例3】 设$f(x)=\lg \frac{1^{x}+2^{x}+\cdots+(n-1)^{x}+a \cdot n^{x}}{n}$,若$0 \leqslant a \leqslant 1, n \in \mathbf{N}_{+}$,且$n \geq 2$,求证:$f(2 x) \geqslant 2 f(x)$.

    分析:由题目可获取以下主要信息:①已知$f(x)$的函数表达式.②变量的取值范围.③证明相关的不等式.解答本题的关键是先将$f(2 x) \geqslant 2 f(x)$具体化,再根据式子的结构特点选择合适的证明方法.

    反思 

    对于较为复杂的证明问题,可采用“分析法”进行推导,从而找到柯西不等式的结构特征.

    【变式训练3】 若$0 < a, b, c < 1$满足条件$a b+b c+c a=1$,求 $\frac{1}{1-a}+\frac{1}{1-b}+\frac{1}{1-C}$的最小值.

  • 题型四 易错辨析

    易错点 忽视等号成立的条件致错

    【例4】 已知$a^{2}+b^{2}+c^{2}=1, x^{2}+y^{2}+z^{2}=9, \\ a x+b y+c z \leqslant t$
    ,求$t$的最小值.

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