指数函数

时间:2019-9-9 19:05:03   作者:数学名师王老师
1.理解指数函数的概念和意义,能画出具体指数函数的图象.
2.探索并理解指数函数的单调性与特殊点等性质.
3.利用计算工具,比较指数函数增长的差异.
知识点
  • 1.指数函数的定义

    函数$y=a^{x}(a>0, a \neq 1, x \in \mathbf{R})$叫做指数函数,其中$x$是自变量.

    归纳总结

    对指数函数定义的理解应注意以下两点:

    (1)规定底数$a$大于零且不等于1的理由是:

    1559182111796595.png

    如果a < 0,当x为任意偶数的倒数时,$a^{x}$都无意义.例如,$y=(-4)^{x}$,这时对于$x=\frac{1}{4}, x=\frac{1}{2}, \dots, y=(-4)^{x}$都无意义.

    如果$a=1$,对于任何实数$x, y=1^{x}=1$是一个常量,对它就没有研究的价值和必要了.


    (2)指数函数解析式$y=a^{x}(a>0$,且$a \neq 1 )$的特征:

    ①底数a为大于0且不等于1的常数,不含有自变量x;

    ②指数位置是自变量x,且x的系数是1;

    ③$a^{x}$的系数是1.

    一个函数解析式只有完全满足上述条件时才是指数函数.

    【做一做1-1】 在指数函数$y=(a-1)^{x}$中,实数$a$满足的条件是______. 

    答案:a>1,且a≠2

    【做一做1-2】 给出下列函数:①$f(x)=6^{x}$;②$f(x)=3^{-x}$;③$f(x)=4^{x+2}$;④$f(x)=2 \cdot 5^{x}$;⑤$f(x)=\left(\frac{1}{2}\right)^{x}-1$;⑥$y=2^{|x|}$;⑦$y=x^{\frac{1}{2}}$;⑧$y=-3^{x}$.

    其中是指数函数的有_______.(填序号) 

    解析:只有①和②是指数函数,其中②$f(x)=3^{-x}=\left(\frac{1}{3}\right)^{x}$ 满足指数函数定义,其余均不是指数函数.

    答案:①②

    【做一做1-3】 若指数函数$f(x)$的图象经过点$(-1,4)$,则其解析式为_________. 

    解析:设$f(x)=a^{x}(a>0$,且$a \neq 1 )$,则$a^{-1}=4, a=\frac{1}{4}$,故解析式为$f(x)=\left(\frac{1}{4}\right)^{x}$.

    答案:$f(x)=\left(\frac{1}{4}\right)^{x}$

  • 2.指数函数的图象和性质

     

    a>1

    0 < a<1

    图象

    1559182956639434.png

    1559182982490744.png

    性质

    定义域:R

    值域:$(0,+\infty)$

    图象过定点(0,1)

    $(-\infty,+\infty)$上是增函数

    $(-\infty,+\infty)$上是减函数

    名师点拨

    1.在指数函数$f(x)=a^{x}(a>0$,且$a \neq 1 )$中,不论a取何值,总有$f(0)=a^{0}=1$,所以其图象经过定点(0,1).在指数型函数$y=k \cdot a^{f(x)}+b$中,令$f(x)=0$,若得$x=x_{0}$,则其图象经过定点$\left(x_{0}, k+b\right)$.

    2.函数$y=a^{|x|}(a>0$,且$a \neq 1 )$不是指数函数,但它与指数函数$y=a^{x}(a>0$,且$a \neq 1$)有一定的联系,它的图象和性质如下表:

    性质

    a>1

    0 < a<1

    定义域

    R

    值域

    $[1,+\infty)$

    (0,1]

    奇偶性

    偶函数

    单调性

    在$(0,+\infty)$上是增函数

    在$(-\infty, 0)$上是减函数

    在$(0,+\infty)$上是减函数

    在$(-\infty, 0)$上是增函数

    图象

    1559184541821461.png

    1559184658295350.png

    【做一做2-1】 函数$y=2^{-x}$的图象是(  )

     1559184729269348.png

    【做一做2-2】 在函数$y=a^{x-1}+2016(a>0$,且$a \neq 1 )$中,无论$a$取何值恒经过一个定点,则这个定点的坐标为    . 

    解析:函数$y=a^{x}$的图象经过一个定点(0,1),在函数$y=a^{x-1}+2015$中,令x-1=0,即x=1,得y=2 017,则定点坐标为(1,2 017).

    答案:(1,2 017)

    【做一做2-3】 (1)已知$3^{x} \geqslant 9$,求实数$x$的取值范围;

    (2)已知$0.2^{x+1} < 5$,求实数$x$的取值范围.

    解:(1)因为3>1,所以指数函数$y=3^{x}$在R上为增函数.

    由$3^{x} \geqslant 9=3^{2}$,可得$x \geq 2$,即x的取值范围是$[2,+\infty)$.

    (2)因为0 < 0.2 < 1,所以指数函数$y=0.2^{x}$在R上为减函数.

    因为$5=\left(\frac{1}{5}\right)^{-1}=0.2^{-1}$,

    所以$0.2^{x+1} < 0.2^{-1}$,所以$x+1>-1$.

    所以$x>-2$,即x的取值范围是$(-2,+\infty)$.

重难点
  • 一、指数函数$y=a^{x}$(a>0,且a≠1)的函数值的变化规律

    剖析:先从具体函数入手:

    列表:

       x

    y  

    -3

    -2

    -1

    0

    1

    2

    3

    $y=2^{x}$

    $\frac{1}{8}$

    $\frac{1}{4}$

    $\frac{1}{2}$

    1

    2

    4

    8

    $y=3^{x}$

    $\frac{1}{27}$

    $\frac{1}{9}$

    $\frac{1}{3}$

    1

    3

    9

    27

    从上表中很容易发现:

    ①当$x < 0$时,总有2x>3x;②当x>0时,总有$2^{x}>3^{x}$;③当x从1增加到3,$y=2^{x}$的函数值从2增加到8,$y=3^{x}$的函数值从3增加到27,说明当x>0时,函数$y=3^{x}$的函数值比$y=2^{x}$的函数值增长得快.

    对于指数函数$y=a^{x}(a>0$,且$a \neq 1 )$,将底数a由2变为3,发现它们的图象发生了显著变化,在第一象限内,底数a越小,函数的图象越接近x轴.

    再类似地列表分析函数$y=\left(\frac{1}{2}\right)^{x}$ 和$y=\left(\frac{1}{3}\right)^{x}$ 的函数值的变化.

    由上面的探究过程可以得出底数a对函数值的影响:

     

    a>b>1

    0 < a < b<1

     

    1.x<0时

    总有$a^{x} < b^{x} < 1$

    总有$a^{x}>b^{x}>1$

    2.x=0时

    总有$a^{x}=b^{x}=1$

    总有$a^{x}=b^{x}=1$

    3.x>0时

    总有$a^{x}>b^{x}>1$

    总有$a^{x} < b^{x} < 1$

    4.指数函数的底数越大

    x>0时,其函数值增长得越快

    x>0时,其函数值减少得越慢

    归纳总结

    指数幂$a^{x}$和1的比较:

    当$x < 0, a < 1$或$x>0, a>1$时,$a^{x}>1$,即指数x和0比较,底数a和1比较,当不等号的方向相同时,$a^{x}$大于1,简称为“同大”;

    当$x < 0, a="">1$或$x>0, a < 1$时,$a^{x} < 1$,即指数x和0比较,底数a和1比较,当不等号的方向相反(异)时,$a^{x}$小于1,简称为“异小”.

    因此简称为“同大异小”.

  • 二、指数函数的图象分布规律

    剖析:先从特例入手: 

    在同一平面直角坐标系中画出下列函数的图象:

    ①$y=2^{x}$;②$y=5^{x}$;③$y=\left(\frac{1}{5}\right)^{x}$;④$y=\left(\frac{1}{2}\right)^{x}$.

    观察四个函数图象,它们有何特点?你能从中总结出一般性结论吗?

    (1)指数函数$y=a^{x}(a>0$,且$a \neq 1$)恒过两个点(0,1)和(1,a).这四个函数都经过点(0,1),又分别经过点$(1,2),(1,5),\left(1, \frac{1}{5}\right),\left(1, \frac{1}{2}\right)$.再由函数的单调性就可以画出四个函数的大致图象(如图所示).

    1559186672982609.png

    (2)从上图中总结出一般性结论为:

    ①观察指数函数的图象,既不关于原点对称,也不关于y轴对称,所以是非奇非偶函数.

    ②$y=a^{x}$与$y=\left(\frac{1}{a}\right)^{x}$ 的图象关于$y$轴对称,分析指数函数$y=a^{x}$的图象时,需找三个关键点:$(1, a),(0,1),\left(-1, \frac{1}{a}\right)$.

    ③指数函数的图象永远在x轴的上方.当$a>1$时,图象越接近于y轴,底数a越大;当$0 < a < 1$时,图象越接近于y轴,底数a越小.

    知识拓展

    1.当底数a的大小不确定时,必须分“$a > 1$ ”和“$0 < a < 1$”两种情形讨论.

    2.当$0 < a < 1$时,$x \rightarrow+\infty, y \rightarrow 0$;当$a > 1$时,$x \rightarrow-\infty, y \rightarrow 0$.当$a > 1$时,$a$的值越大,图象随$x$增大递增的速度越快;当$0 < a < 1$时,a的值越小,图象随x增大递减的速度越快.(其中“$x \rightarrow+\infty$”的意义是:“$x$趋向于正无穷大”)

  • 三、教材中的“?”

    指数函数$y=a^{x}(a>0$,且$a \neq 1 )$,当a>1时,x取何值,y>1?x取何值,0 < y < 1?0 < a < 1呢?

    剖析:当a>1时,若x>0,则y>1;若x < 0,则0 < y < 1.

    当0 < a < 1时,若x < 0,则y>1;若x>0,则0 < y < 1.

例题解析
  • 题型一、求指数型函数的定义域、值域

    【例1】 求下列函数的定义域与值域:

    (1)$y=2^{\frac{1}{x-3}}$; (2)$y=\left(\frac{1}{3}\right)^{|x|}$; (3)$y=2^{x^{2}-1}$.

    反思

    1.对于指数型函数$y=a^{f(x)}(a>0$,且$a \neq 1$),其定义域就是函数f(x)的定义域,可按照求函数定义域的一般方法进行求解;

    2.求指数型函数$y=a^{f(x)}(a>0$,且$a \neq 1$)的值域时,通常采用逐步递推的方法,先确定f(x)的取值范围,再结合指数函数的单调性求得原函数的值域.

    【变式训练1】 求下列各函数的定义域和值域:

    (1)$y=\left(\frac{1}{3}\right)^{\sqrt{x}}$;(2)$y=5^{\frac{2}{x}}$;(3)$y=\left(\frac{1}{10}\right)^{-x^{2}}$.

  • 题型二、指数函数的单调性及其应用

    【例2】 

    (1)比较下列各组数的大小:

    ①$3.3^{0.1}, 3.3^{0.2}$;②$1.7^{0.3}, 0.9^{3.1}$;③$a^{1.3}, a^{2.5}(a>0, a \neq 1)$.

    (2)求函数$f(x)=\left(\frac{2}{3}\right)^{x^{2}-2 x}$ 的单调区间.

    反思

    1.在进行幂值的大小比较时,若底数相同,则可根据指数函数的单调性得出结果;若底数不相同,则首先考虑能否化为同底数,然后根据指数函数的单调性得出结果;不能化成同底数的,要考虑引进第三个数(如0,1等)分别与之比较,从而得出结果.总之,比较时要尽量转化成同底的形式,根据指数函数的单调性进行判断.

    2.函数$y=a^{f(x)}(a>0$,且$a \neq 1 )$的单调性可按如下规则确定:

    (1)当a>1时,函数$y=a^{f(x)}$的单调性与$f(x)$的单调性相同;

    (2)当0 < a < 1时,函数$y=a^{f(x)}$的单调性与f(x)的单调性相反;

    (3)当底数a不确定时,要分a>1和0 < a < 1两种情况讨论.

    【变式训练2】

     (1)比较大小:①$\left(\frac{3}{4}\right)^{\frac{2}{3}}$ 与$\left(\frac{3}{4}\right)^{\frac{1}{3}}$;②$\left(\frac{1}{4}\right)^{0.8}$ 与$\left(\frac{1}{2}\right)^{1.8}$;③$\left(\frac{6}{5}\right)^{-\frac{3}{7}}$ 与$\left(\frac{5}{6}\right)^{\frac{4}{7}}$.

    (2)求函数$f(x)=\left(\frac{1}{2}\right)^{2 x-x^{2}}$ 的最值.

  • 题型三、指数函数的图象变换

    【例3】 先作出函数$y=2^{x}$的图象,再通过图象变换作出下列函数的图象.

    (1)$y=2^{x-2}, y=2^{x+1}$;

    (2)$y=2^{x}+1, y=2^{x}-2$;

    (3)$y=-2^{x}, y=2^{-x}, y=-2^{-x}$.

    反思

    从本题中我们可以得到如下规律:

    (1)平移变换.

    ①上下平移$(b>0)$。

    $y=f(x)$的图象1559188837825845.png $y=f(x)+b$的图象.

    $y=f(x)$的图象1559188869514425.png $y=f(x)-b$的图象.

    ②左右平移(b>0).

    $y=f(x)$的图象1559188902478616.png $y=f(x+b)$的图象.

    $y=f(x)$的图象1559188931761057.png $y=f(x-b)$的图象.


    (2)对称变换.

    y=f(x)的图象1559188996938399.png y=f(-x)的图象.

    y=f(x)的图象1559189027131773.png y=-f(x)的图象.

    y=f(x)的图象1559189052351305.png y=-f(-x)的图象.

    (3)翻折变换.

    y=f(x)的图象1559189080539352.png y=f(|x|)的图象.

    y=f(x)的图象1559189107993888.png y=|f(x)|的图象.

    【变式训练3】

     画出函数$y=\left(\frac{4}{3}\right)^{|x-2|}$的图象,并根据图象写出其值域和单调区间.

  • 题型四、指数函数性质的综合应用

    【例4】 若函数$y=f(x)=\frac{a \cdot 2^{x}-1-a}{2^{x}-1}$ 为奇函数,

    (1)确定a的值;

    (2)求函数的定义域;

    (3)求函数的值域;

    (4)讨论函数的单调性.

    反思

    把握函数的定义域、值域、奇偶性及单调性的定义是解决本题的关键.

    【变式训练4】 求函数$f(x)=\frac{3^{x}-1}{3^{x}+1}$的值域,并判断其奇偶性.

  • 题型五、易错辨析

    易错点:忽视变量的取值范围致误

    【例5】 求函数$y=4^{x}-2^{x+1}+3, x \in(-\infty, 1]$的值域.

    【变式训练5】 已知函数$f(x)=9^{x}-2 \times 3^{x}+4, x \in[-1,2]$,求$f(x)$的最大值与最小值.

  • 真题

    1下列函数中是指数函数的是(  )

    A.$y=(-4)^{x}$ B.$y=-4^{x}$

    C.$y=4^{2 x}$     D.$y=4^{x+2}$

    2已知集合$A=\left\{y | y=3^{1-x}, x \in \mathbf{R}\right\}, \\ B=\{x | 1 \leqslant x \leqslant 4\}$
    ,则 (  )

    A.$A \cap B=\varnothing$   B.$A \cap B=[1,3]$

    C.$A \cup B=(0,+\infty)$   D.$A \cap B=(0,4]$

    3不论a取何值,函数$f(x)=a^{2 x-1}+3(a>0$,且a≠1)一定经过定点(  )

    A.(0,1)   B.(0,3)   C.$\left(\frac{1}{2}, 4\right)$   D.$\left(\frac{1}{2}, 3\right)$

    4定义运算$a \square b=\left\{\begin{array}{l}{a, a \leq b} \\ {b, a>b}\end{array}\right.$则函数$f(x)=1 \square 2^{x}$的图象是图中的(  )

    1559192641985158.png

    5若函数$f(x)=(3 a-2)^{x}$在R上单调递减,则实数a的取值范围是     . 

    6已知函数$y=a^{x}+b(a>0$,且$a \neq 1 )$的图象经过第一、三、四象限,试确定a,b的取值范围.

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