概率的加法公式

时间:2019-9-9 19:05:03   作者:数学名师王老师
1.掌握互斥事件的概念及概率的加法公式.
2.掌握对立事件的概念及概率的加法公式.
3.理解互斥事件与对立事件的异同及概率加法公式的使用条件.
4.能利用互斥事件与对立事件的概率公式求事件的概率.
知识点
  • 事件

    定义

    概率公式(性质)

    互斥事件

    (互不相容事件)

    在同一试验中,不可能同时发生的两个事件AB叫做互斥事件

    $P(A \cup B) \\ =P(A)+P(B)$

    事件的并

    一般地,由事件$A$和$B$至少有一个发生(即$A$发生,或$B$发生,或A,B都发生)所构成的事件$C$,称为事件$A$与$B$的并(或和),记作$C=A \cup B$

    事件AB是由事件AB所包含的基本事件组成的集合

    对立事件

    在同一试验中,不能同时发生必有一个发生的两个事件叫做互为对立事件,事件$A$的对立事件

    $P(\overline{\mathrm{A}})=1-P(A)$

    一般地,如果事件$A_{1}, A_{2}, \ldots, A_{n}$两两互斥,那么事件“$A_{1} \cup A_{2} \cup \ldots \cup A_{n}$”发生的概率,等于这$n$个事件分别发生的概率和,即$P\left(A_{1} \cup A_{2} \cup \ldots \cup A_{n}\right) \\ =P\left(A_{1}\right)+P\left(A_{2}\right)+\ldots+P\left(A_{n}\right)$.

    【做一做1】 从1~9这九个数字中任意取两个数,分别有下列事件:

    ①恰有一个是奇数和恰有一个是偶数;

    ②至少有一个是奇数和两个数都是奇数;

    ③至少有一个是奇数和两个数都是偶数;

    ④至少有一个是奇数和至少有一个是偶数.

    以上事件中是互斥事件的是(  )

    A.①  B.②④

    C.③  D.①③

    答案:C

    【做一做2】 已知$P(A)=\frac{3}{5}$,则$P(\overline{A})=$_________. 

    答案:$\frac{2}{5}$

重难点
  • 互斥事件与对立事件的异同

    剖析:(1)从概念上区别:

    “互斥事件”和“对立事件”都是就两个事件而言的.互斥事件是不可能同时发生的两个事件,而对立事件是其中必有一个发生的互斥事件.因此,对立事件必须是互斥事件,但互斥事件不一定是对立事件.“对立”是所研究的互斥事件中两个事件的非此即彼的关系.对立事件的两个必要条件是:①$A$与$B$互斥,②$A$与$B$在一次试验中必有一个发生.


    (2)从集合的角度区别:

    $A$和$B$互斥是指这两个事件所含的结果组成的集合不相交,即$A \cap B=\varnothing$,也就是没有公共部分的基本事件.易知,必然事件与不可能事件是互斥的.如果事件$A_{1}, A_{2}, \cdots, A_{n}$中的任何两个都是互斥事件,那么我们就说,事件$A_{1}, A_{2}, \cdots, A_{n}$彼此互斥.从集合角度看,$n$个事件彼此互斥,是指由各个事件所含的结果组成的集合彼此不相交.例如,从一堆产品(其中正品和次品都多于2个)中任取2件,其中:①“恰有一件次品和恰有两件次品”就是互斥事件;②“至少一件次品和全是次品”就不是互斥事件;③“至少有一件次品和全是正品”是对立事件.

    事件$A$与事件$B$对立是指由事件$B$所含的结果组成的集合,是全集$U$中由事件$A$所含的结果组成的集合的补集,即满足条件$A \cap B=\varnothing$,且$A \cup B=U$.

    归纳总结
    互斥事件与对立事件都是两个事件的关系,互斥事件是不可能同时发生的两个事件,而对立事件除要求这两个事件不同时发生外,还要求二者之中必须有一个发生.因此,对立事件是互斥事件,是互斥中的特殊情况,但互斥事件不一定是对立事件.

例题解析
  • 互斥事件与对立事件的判断

    【例1】 判断下列各对事件是否为互斥事件,是否为对立事件,并说明理由.

    某小组有3名男生和2名女生,从中任选2名同学去参加演讲比赛,其中

    (1)“恰有1名男生”和“恰有2名男生”;

    (2)“至少有1名男生”和“至少有1名女生”;

    (3)“至少有1名男生”和“全是男生”;

    (4)“至少有1名男生”和“全是女生”.

    分析:判断两个事件是否互斥,就是研究代表两个事件的集合有无公共部分,若有,则一定不互斥;若没有,则一定互斥.互斥是对立的前提,若两个事件互斥,且它们的集合互为补集,则两个事件是对立事件.如果两个事件不是互斥事件,则它们一定不是对立事件.

    反思

    从集合的角度来看,互斥事件就是交集为空集的事件,对立事件不仅交集为空集而且并集为全集,故对立一定互斥,互斥不一定对立.

    【变式训练1】 一个人打靶时连续射击两次,事件“至少有一次中靶”的互斥事件是(  )

    A.至多有一次中靶  B.两次都中靶

    C.只有一次中靶  D.两次都不中靶

  • 互斥事件、概率加法公式的应用

    【例2】 黄种人群中各种血型的人所占的比例见下表:

    血型

    A

    B

    AB

    O

    该血型的人所占比例

    28$\%$

    29$\%$

    8$\%$

    35$\%$

    已知同种血型的人可以输血,$0$型血可以输给任一种血型的人,$AB$型血的人可以接受任一种血型的血.其他不同血型的人不能互相输血.小明是$B$型血,若小明因病需要输血,问:

    (1)任找一个人,其血可以输给小明的概率是多少?

    (2)任找一个人,其血不能输给小明的概率是多少?

    反思应用互斥事件的概率加法公式求概率的步骤:

    (1)确定各事件彼此互斥;(2)各事件中有一个发生;(3)先求出各事件分别发生的概率,再求和.值得注意的是:(1)(2)两点是公式的使用条件,不符合这两点,是不能运用互斥事件的概率加法公式的.

    【变式训练2】 假设向三个相邻的军火库投一个炸弹,炸中第一个军火库的概率为0.025,炸中第二、第三个军火库的概率各为0.1.只要炸中一个,另两个也会发生爆炸,求军火库发生爆炸的概率.

  • 对立事件的概率公式的应用

    【例3】 一名射手在某次射击训练中,射中10环、9环、8环、7环的概率分别为0.21,0.23,0.25,0.28,计算这个射手在这次射击中:

    (1)射中的环数不低于9环的概率;

    (2)射中的环数低于7环的概率.

    分析:(1)射中的环数不低于9环,即射中10环或9环,因此可用互斥事件的概率加法公式计算.

    (2)“射中的环数低于7环”从正面考虑有以下几种情况:射中6环,5环,4环,3环,2环,1环,0环.但由于这些概率都未知,故不能直接求解,可考虑从反面入手.“射中的环数低于7环”的反面是“射中的环数大于或等于7环”,即“7环,8环,9环,10环”,由于这两个事件必有一个发生,故是对立事件,因此,可用对立事件的概率公式计算.

    反思

    若将一个较复杂的事件转化为几个互斥事件的和事件时,需要分类太多,而其对立面的分类较少或唯一,则可考虑利用对立事件的概率公式,即“正难则反”.当所求的事件中含有“至少……”“至多……”等词语时,常用对立事件的概率公式计算.

    【变式训练3】 抛掷一枚骰子两次,若至少有一个1点或2点的概率为$\frac{5}{9}$,则没有1点或2点的概率是_________. 

  • 真题

    1.下列各组事件中,不是互斥事件的是(  )

    A.一个射手进行一次射击,命中环数大于8与命中环数小于6

    B.统计一个班级数学期中考试成绩,平均分数不低于90分与平均分数不高于90分

    C.播种菜籽100粒,发芽90粒与发芽80粒

    D.检查某种产品,合格率高于70$\%$与合格率为70$\%$

    2.从一批羽毛球产品中任取一个,其质量小于4.8 g的概率为0.3,质量小于4.85 g的概率为0.32,那么质量在$[4.8,4.85)$(单位:g)范围内的概率是(  )

    A.0.62  B.0.38  C.0.02  D.0.68

    3.从装有3个红球和4个白球的口袋(不透明)中任取3个球(除颜色外其他均相同),则事件“取出的3个球中至少有1个红球”的对立事件是(  )

    A.取出的3个球中恰有1个红球

    B.取出的3个球中至多有2个红球

    C.取出的3个球全是白球

    D.取出的3个球全是红球

    4.已知$\overline{A}$ 是事件A的对立事件,且$P(A)=\frac{1}{7}$,则$P(\overline{A})=$_________.

    5.甲、乙两人下棋,两人下和棋的概率为$\frac{1}{2}$,乙获胜的概率为$\frac{1}{3}$,则乙不输的概率为_________.  

    6.某人去外地开会,他乘火车、轮船、汽车、飞机去的概率分别为0.3,0.2,0.1,0.4.

    (1)求他乘火车或乘飞机去的概率;

    (2)求他不乘轮船去的概率;

    (3)如果他乘上面的交通工具去的概率为0.5,请问他有可能是乘何种交通工具去的?

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