正弦函数的图象与性质

时间:2019-9-9 19:05:04   作者:数学名师王老师
1.能正确使用“五点法”“几何法”作出正弦函数的图象.
2.理解正弦函数的性质,会求正弦函数的周期、单调区间和最值,并能利用正弦函数的图象和性质来解决相关的综合问题.
知识点
  • 1.正弦函数的图象

    正弦函数$y=\sin x, x \in \mathbf{R}$的图象叫做正弦曲线.我们用“五点法”作出$y=\sin x, x \in \mathbf{R}$的图象如下图.

    blob.png

    其中在$x \in[0,2 \pi]$的图象起关键作用的五个点分别为

    $(0,0),\left(\frac{\pi}{2}, 1\right),(\pi, 0),\left(\frac{3 \pi}{2},-1\right),(2 \pi, 0)$

    【做一做1】 $y=-\sin x$的图象的大致形状是图中的 (  )

    blob.png

    答案:C

  • 2.正弦函数的性质

    (1)定义域:$R$.

    (2)值域:$[-1,1]$,当$x=2 k \pi+\frac{\pi}{2}(k \in \mathbf{Z})$时,$y$取最大值1;当$x=2 \mathrm{k} \pi \frac{\pi}{2}(\mathrm{k} \in \mathrm{Z})$时,$y$取最小值-1.

    (3)周期性:最小正周期为2$\pi$.

    (4)奇偶性:奇函数,正弦曲线关于原点对称.

    (5)单调性:单调递增区间是$\left[-\frac{\pi}{2}+2 k \pi, \frac{\pi}{2}+2 k \pi\right](\mathrm{k} \in \mathrm{Z})$

    单调递减区间是$\left[\frac{\pi}{2}+2 k \pi, \frac{3 \pi}{2}+2 k \pi\right](\mathrm{k} \in \mathrm{Z})$).

    (6)对称性:

    对称轴方程为$\mathrm{x}=\mathrm{k} \pi+\frac{\pi}{2}, \mathrm{k} \in \mathrm{Z}$,

    对称中心的坐标为$(k \pi, 0), k \in \mathbf{Z}$.

    【做一做2-1】 函数$y=\sin x(x \in \mathbf{R})$图象的一条对称轴是(  )

    A.x轴    B.y轴 

    C.直线$y=x$    D.直线$x=\frac{\pi}{2}$

    答案:D

    【做一做2-2】 函数$y=2 \sin x\left(0 < x \leq \frac{2 \pi}{3}\right)$的值域是________. 

    答案:$(0,2]$

  • 3.周期函数

    一般地,对于函数$f(x)$,如果存在一个非零常数$T$,使得定义域内的每一个x值,都满足$f(x+T)=f(x)$,那么函数$f(x)$就叫做周期函数,非零常数T叫做这个函数的周期.对于一个周期函数$f(x)$,如果在它的所有周期中存在一个最小的正数,那么这个最小正数就叫做它的最小正周期.如果不加特殊说明,三角函数的周期均指最小正周期.

    归纳总结 1.一个周期函数的周期不止一个,若有最小正周期,则最小正周期只有一个,并不是每一个周期函数都有最小正周期,如$f(x)=a(a$为常数)就没有最小正周期;若$T$是函数$f(x)$的一个周期,则$k T(k \neq 0$,且$k \in \mathbf{Z} )$也是函数$f(x)$的周期.

    2.一般地,函数$y=A \sin (\omega x+\varphi)$其中$A \neq 0, \omega>0, x \in \mathbf{R} )$的周期为$T=\frac{2 \pi}{\omega}$ .

    【做一做3】 $f(x)=\sin 4 x, x \in \mathbf{R}$是(  )

    A.最小正周期为$\pi$的偶函数

    B.最小正周期为$\pi$的奇函数

    C.最小正周期为$\frac{\pi}{2}$的偶函数

    D.最小正周期为$\frac{\pi}{2}$的奇函数

    解析:$T=\frac{2 \pi}{\omega}=\frac{2 \pi}{4}=\frac{\pi}{2} f(-x) \\ =\sin (-4 x)=-\sin 4 x=-f(x)$,即$f(x)$是奇函数.

    答案:D 

重难点
  • 1.探讨正弦函数图象的对称性

    剖析因为$y=\sin x$为奇函数,所以其图象关于原点成中心对称,除了这个中心对称点之外,正弦函数的图象的对称中心也可以是点$(\pi, 0)$,点$(2 \pi, 0), \ldots \ldots$,点$(k \pi, 0)(k \in \mathbf{Z})$,由此可知正弦函数的图象有无数个对称中心,且为$(k \pi, 0)(k \in \mathbf{Z})$,它们是图象与$x$轴的交点;可以看出正弦函数的图象也具有轴对称性,对称轴为$x=k \pi+\frac{\pi}{2}(k \in \mathbf{Z})$,它们是过图象的最高点或最低点且与$x$轴垂直的直线.

  • 2.教材中的“?”

    (1)请同学们观察下图,说明将函数$y=\sin x, x \in[0,2 \pi]$的图象怎样变换就能得到函数$y=1+\sin x x \in[0,2 \pi]$的图象.

    blob.png

    剖析函数blob.png(也可以说,将函数$y=\sin x$的图象向上平移1个单位长度,便可得到函数$y=1+\sin x$的图象).


    (2)请同学们自己动手推导:函数$y=A \sin (\omega x+\varphi)$(其中$A \neq 0, \omega>0, x \in \mathbf{R}$)的周期为$T=\frac{2 \pi}{\omega}$.

    剖析设$u=\omega x+\varphi$,因为$y=\sin u$的周期是2$\pi$,所以$\sin (u+2 \pi)=\sin u$,即blob.png.这说明:当自变量由x增加到$x+\frac{2 \pi}{\omega}$,且必须增加到$x+\frac{2 \pi}{\omega}$时,函数值重复出现.因此$y=A \sin (\omega x+\varphi)$的周期$T=\frac{2 \pi}{\omega}$.由此可知该函数的周期仅与自变量的系数有关,公式为$T=\frac{2 \pi}{\omega}$.

    说明:若没有$\omega>0$这个条件,则周期$T=\frac{2 \pi}{|\omega|}$.

例题解析
  • 题型一 用“五点法”画有关正弦函数的图象

    【例1】 用“五点法”作出函数$y=\sin \left(x+\frac{\pi}{2}\right)$的图象.

    分析先把$x+\frac{\pi}{2}$看成一个整体,取出一个周期内的五个关键点,再求出相应的$x$,然后求出$y$.

    反思在利用关键的五个点描点作图时,要注意被这五个点分隔的区间上函数的变化情况,在$x+\frac{\pi}{2}=0, \pi, 2 \pi$附近,函数增加或下降得快一些,曲线“陡”一些;在$x+\frac{\pi}{2}=\frac{\pi}{2}, \frac{3 \pi}{2}$附近,函数变化得慢一些,曲线“平缓”一些.

    【变式训练1】 用“五点法”作出函数$y=2-\sin x$的图象.

  • 题型二 讨论有关正弦函数的性质

    【例2】 讨论函数$y=-\frac{1}{2} \sin x+\frac{1}{2}$的性质.

    分析讨论有关正弦函数的性质,应结合图象从定义域、值域、最值、奇偶性、周期性、单调性、对称性等几方面入手.

    反思

    通过三角函数图象可以使那些原本较复杂的数量关系、抽象的概念等显得直观,以此达到化难为易、顺利破解问题的效果. 

  • 题型三  正弦函数性质的应用

    【例3】 判断下列函数的奇偶性:

    $(1) f(x)=x \sin (\pi+x)$

    $(2) f(x)=\frac{1-\sin x}{1+\sin x}$

    分析利用函数奇偶性的定义进行判断.

    反思通过本题的解答,我们可以得到如下规律:

    (1)函数的定义域是判断函数奇偶性的前提,即首先要看定义域是否关于原点对称,再看$f(-x)$与$f(x)$的关系.(2)注意奇偶性判定法的变通式和定义式的用法,即偶函数也可判断$f(x)-f(-x)=0$或

    $\frac{f(-x)}{f(x)}=1(f(x) \neq 0)$;奇函数也可判断$f(-x)+f(x)=0$或$\frac{f(-x)}{f(x)}=-1(f(x) \neq 0)$.

    【变式训练3】 判断下列函数的奇偶性:

    $(1) f(x)=x^{2} \sin (2 \pi-x)$

    $(2) f(x)=\frac{1+\sin x}{1-\sin x}$

    分析先求函数定义域,再按奇偶性的定义判断.

    【例4】 已知$|x| \leq \frac{\pi}{4}$,求函数$y=\cos ^{2} x+\sin x$的最小值.

    分析转化成二次函数求最值的问题,要特别注意$\sin x$的范围对二次函数最值的影响.

    反思

    求解这类问题,首先利用有关三角函数公式化为$y=a \sin ^{2} x+b \sin x+c$的形式,然后利用二次函数的性质来求解.在解此题时,还要注意已知条件$|x| \leq \frac{\pi}{4}$对结果的影响,否则会产生错误.

    【变式训练4】 求下列各函数的最值,并求出取得最值时$x$的值.

    $(1) f(x)=4 \sin x-1$

    $(2) f(x)=\cos ^{2} x+4 \sin x$

    分析(1)可直接根据$y=\sin x$的最值求解;

    (2)先用$\cos ^{2} x=1-\sin ^{2} x$将函数解析式转化再配方求解.

  • 题型四 易错辨析

    易错点:忽视函数的定义域致错

    【例5】 试求函数$y=\log _{\frac{1}{\pi}} \sqrt{2} \sin \left(x+\frac{\pi}{4}\right)$的单调递增区间.

    【变式训练5】 求函数$f(x)=\sqrt{\sin 2 x}$的单调递增区间.

  • 真题

    1.下列说法:

    ①在作正弦函数的图象时,单位圆的半径与$x$轴的单位长度要一致;

    ②$y=\sin x \in[0,2 \pi]$的图象关于点$P(\pi, 0)$对称;

    ③$y=\sin x \in\left[\frac{\pi}{2}, \frac{5 \pi}{2}\right]$的图象关于直线$x=\frac{3 \pi}{2}$成轴对称;

    ④正弦函数$y=\sin x$的图象不超出直线$y=1$和$y=-1$所夹的区域.

    其中,正确说法的个数是(  )

    A.1  B.2  C.3  D.4

    2.函数$f(x)=\cos \left(2 x-\frac{\pi}{2}\right)$(  )

    A.是奇函数

    B.是偶函数

    C.是非奇非偶函数

    D.既是奇函数又是偶函数

    3.若函数$f(x)=2 \sin x-b$的最大值是3,则$b$的值为(  )

    A.1  B.3  C.-3  D.-1

    4.比较大小:

    (1)$\sin \left(-\frac{\pi}{18}\right)$________$\sin \left(-\frac{\pi}{10}\right)$; 

    (2)$\sin \frac{7}{4}$________$\cos \frac{5}{3}$. 

    5.若函数$f(x)=\sin x+2|\sin x|(x \in[0,2 \pi])$的图象与直线$y=k$有且仅有两个不同的交点,则$k$的取值范围是________. 

    6.求函数$y=2 \cos ^{2} x+5 \sin x-4$的最大值和最小值.

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