平面向量基本定理

时间:2019-9-9 19:05:04   作者:数学名师王老师
1.了解基底的含义,理解平面向量基本定理及其意义,会利用平面向量基本定理和向量的线性运算进行向量之间的相互表示.
2.理解直线的向量参数方程式,掌握线段中点的向量表达式.
知识点
  • 1.平面向量基本定理

    如果$\mathbf{e}_{1}$和$\mathbf{e}_{2}$是一平面内的两个不平行的向量,那么该平面内的任一向量a,存在唯一的一对实数$a_{1}, a_{2}$,使$\mathbf{a}=a_{1} \mathbf{e}_{1}+a_{2} \mathbf{e}_{2}$.我们把不共线向量$\mathbf{e}_{1}, \mathbf{e}_{2}$叫做表示这一平面内所有向量的一组基底,记为$\left\{\mathbf{e}_{1}, \mathbf{e}_{2}\right\} \cdot a_{1} \mathbf{e}_{1}+a_{2} \mathbf{e}_{2}$叫做向量$a$关于基底$\left\{\mathbf{e}_{1}, \mathbf{e}_{2}\right\}$的分解式.

    【做一做1-1】 下列关于向量基底的说法正确的是(  )

    ①平面内的任意两个向量都可作为一组基底;

    ②基底中的向量可以是零向量;

    ③平面内的基底一旦确定,该平面内的向量关于基底的线性分解形式也是唯一确定的.

    A.①  B.②  C.③  D.②③

    答案:C

    【做一做1-2】 在四边形$ABCD$中,设$\overrightarrow{A B}=\mathbf{a}, \overrightarrow{A D}=\mathbf{b}$用基底a,b表示$\overrightarrow{D B}=$________ . 

  • 2.直线的向量参数方程式

    已知$A,B$是直线$l$上任意两点,$O$是$l$外一点,则对于直线$l$上任一点$P$,存在实数$t$,使$\overrightarrow{O P}$关于基底$\{\overrightarrow{O A}, \overrightarrow{O B}\}$的分解式为=$\overrightarrow{O P}=(1-t) \overrightarrow{O A}+\overrightarrow{t O B}$,这个等式叫做直线$l$的向量参数方程式,其中实数$t$叫做参变数,简称参数.

    名师点拨

    1.当$t=\frac{1}{2}$,$\overrightarrow{O P}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{O A}+\overrightarrow{O B})$,此时的点$P$为线段$AB$的中点,于是得到了线段中点的向量表达式.

    2.由直线的向量参数方程式可知,对于等式$\overrightarrow{O P}=(1-t) \overrightarrow{O A}+t \overrightarrow{O B}$,不管参数t取何值,点$P$都在直线$l$上;亦即$P,A,B$三点共线,就必须满足$\overrightarrow{O A}$与$\overrightarrow{O B}$的系数之和为$1$,这可以作为判断三点是否共线的依据.

    【做一做2】 已知$M$为线段$AB$的中点,$O$为平面上任一点,$\overrightarrow{O M}=x \overrightarrow{O A}+y \overrightarrow{O B}$则$x=$_________,$y=$_________. 

    解析:由线段$AB$的中点的向量表达式,知$x=y=\frac{1}{2}$                         

    答案: $\frac{1}{2} \frac{1}{2}$                                            

重难点
  • 学习平面向量基本定理要注意的问题

    剖析(1)$\mathbf{e}_{1}, \mathbf{e}_{2}$是同一平面内的两个不共线向量;

    (2)该平面内的任意向量$a$都可用$\mathbf{e}_{1}, \mathbf{e}_{2}$线性表示,且这种表示是唯一的;

    (3)对基底的选取不唯一,只要是同一平面内的两个不共线向量都可以作为一组基底;

    (4)教材中定理的证明,是用作图法证明了存在性,又用反证法证明了唯一性.

    名师点拨

    1.解题时,若基底没有给出,我们要选取合理的基底.

    2.任一平面直线型图形,根据平面向量基本定理,都可以表示成某些向量的线性组合,这样要解答几何问题,就可以先把已知和结论表示为向量的形式,再通过向量的运算,达到解题的目的.

例题解析
  • 题型一 对平面向量基本定理的理解

    【例1】 如果$\mathbf{e}_{1}, \mathbf{e}_{2}$是平面$\alpha$内两个不共线的向量,那么下列各命题中是假命题的有(  )

    ①$\lambda \mathbf{e}_{1}+\mu \mathbf{e}_{2}(\lambda, \mu \in \mathbf{R})$可以表示平面$\alpha$内的所有向量;

    ②对于平面$\alpha$内的任一向量$a$,使$\mathbf{a}=\lambda \mathbf{e}_{1}+\mu \mathbf{e}_{2}$的实数$\lambda, \mu$有无数多对;

    ③若向量$\lambda_{1} \mathbf{e}_{1}+\mu_{1} \mathbf{e}_{2}$与$\lambda_{2} \mathbf{e}_{1}+\mu_{2} \mathbf{e}_{2}$共线,则有且只有一个实数$\lambda$,使$\lambda_{1} \mathbf{e}_{1}+\mu_{1} \mathbf{e}_{2}=\lambda\left(\lambda_{2} \mathbf{e}_{1}+\mu_{2} \mathbf{e}_{2}\right)$;

    ④若存在实数$\lambda, \mu$使$\lambda \mathbf{e}_{1}+\lambda \mathbf{e}_{2}=\mathbf{0}$,则$\lambda=\mu=0$.

    A.①②  B.②③

    C.③④  D.②

    分析根据平面向量基本定理及基底的意义进行判断分析.

    反思

    平面向量基本定理包含了存在性和唯一性两个方面,只要是平面内两个不共线的向量,就可以作为一组基底,用这一组基底就可以表示平面内的任一向量,并且表示方法是唯一的.

    【变式训练1】 给出下列说法:

    ①一个平面内只有一对不共线的向量可作为表示该平面内所有向量的基底;②一个平面内有无数对不共线的向量可作为表示该平面内所有向量的基底;③基底中的向量不能为零向量.

    其中正确的个数为(  )

    A.0  B.1  C.2  D.3

  • 题型二 用基底表示向量

    【例2】 如图,在blob.png中,$M,N$分别为$DC,BC$的中点,已知$\overrightarrow{A M}=\mathbf{c}, \overrightarrow{A N}=\mathbf{d}$,试用c,d表示$\overrightarrow{A C}$.

    blob.png

    分析本题要求用$c,d$表示$\overrightarrow{A C}$,所以可以将$c,d$看作基底,把$\overrightarrow{A B}$和$\overrightarrow{A D}$表示出来,再由$\overrightarrow{A C}=\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{A D}$得到$\overrightarrow{A C}$.

    反思

    用基底来表示向量主要有以下两种类型:

    (1)直接利用基底,结合向量的线性运算,灵活应用三角形法则与平行四边形法则求解.

    (2)若直接利用基底表示比较困难,则利用“正难则反”的原则,采用方程思想求解.

    【变式训练2】 如图,在平行四边形$ABCD$中,$E,F$分别是$BC,DC$的中点,若$\overrightarrow{A B}=\mathbf{a}, \overrightarrow{A D}=\mathbf{b}$,试以$a,b$为基底表示$\overrightarrow{D E}, \overrightarrow{B F}$

    blob.png

  • 题型三  直线的向量参数方程式

    【例3】 如图,设一条直线上三点A,B,P满足$\overrightarrow{A P}=\lambda \overrightarrow{P B}(\lambda \neq-1), O$是平面上任意一点,则(  )

    blob.png

    $\begin{aligned} A . \overrightarrow{O P} &=\frac{\overrightarrow{O A}+\lambda \overrightarrow{O B}}{1+\lambda}(\lambda \neq-1) \\ \mathrm{B} . \overrightarrow{O P} &=\frac{\overrightarrow{O A}+\lambda \overrightarrow{O B}}{1-\lambda} \end{aligned}$

    $\mathrm{C} . \overrightarrow{O P}=\frac{\overrightarrow{O A}-\lambda \overrightarrow{O B}}{1+\lambda}(\lambda \neq-1)$

    $\mathrm{D} . \overrightarrow{O P}=\frac{\overrightarrow{O A}-2 \lambda \overrightarrow{O B}}{1-\lambda}$

    反思

    本题可采用两种方法解题.方法一是应用直线的向量参数方程式判断.由直线的向量参数方程式得,若$P$在直线$AB$上(或$P,A,B$共线),则一定存在实数$t$,使得$\overrightarrow{O P}=(1-t) \overrightarrow{O A}+t \overrightarrow{O B}$,注意$(1-t)+t=1$;方法二直接利用向量减法的几何意义,构造向量方程,解出$\overrightarrow{O P}$.

    【变式训练3】 如图,在$\triangle A B C$中,点$M$是$AB$的中点,且$\overrightarrow{A N}=\frac{1}{2} \overrightarrow{N C}$,$BN$与$CM$相交于点$E$.设$\overrightarrow{A B}=\mathbf{a}, \overrightarrow{A C}=\mathbf{b}$,试用基底$a,b$表示向量$\overrightarrow{A E}$.

    blob.png

  • 题型四 用向量法证明几何问题

    【例4】 用向量的方法证明:平行四边形一顶点和对边中点的连线三等分此平行四边形的一条对角线.

    反思

    本题利用向量数乘的几何意义证明平面几何问题,反映出向量是证明平面几何问题的一个重要工具,这一点在后面的学习过程中会体现得更明显.

    【变式训练4】 在矩形$ABCD$中,若$M,N$分别为$AD,CD$的中点,$BM,BN$分别与$AC$相交于$P,Q$两点,求证:$A P=P Q=O C$.

    blob.png

  • 真题

    1.设$\mathbf{e}_{1}, \mathbf{e}_{2}$是平面内的两个向量,则(  )

    A.$\mathbf{e}_{1}, \mathbf{e}_{2}$一定平行

    B.$\mathbf{e}_{1}, \mathbf{e}_{2}$的模一定相等

    C.对于平面内的任一向量$\mathbf{a}$,都有$\mathbf{a}=\lambda \mathbf{e}_{1}+\mu \mathbf{e}_{2}(\lambda . u \in \mathbf{R})$

    D.若$\mathbf{e}_{1}, \mathbf{e}_{2}$不共线,则对平面内的任一向量$\mathbf{a}$,都有$\mathbf{a}=\lambda \mathbf{e}_{1}+\mu \mathbf{e}_{2}\left(\lambda_{2} u \in \mathbf{R}\right)$

    2.已知blob.png的对角线的交点为$O$,则下列各组向量中,可作为blob.png所在的平面内所有向量的基底的是(  )

    ①$\overrightarrow{A D}$与$\overrightarrow{A B}$;②$\overrightarrow{D A}$与$\overrightarrow{B C}$;③$\overrightarrow{C A}$与$\overrightarrow{D C}$;④$\overrightarrow{O D}$与$\overrightarrow{O B}$.

    A.①②  B.①③

    C.①④  D.③④

    3.已知$O$为平面上任一点,$\overrightarrow{O C}=x \overrightarrow{O A}+y \overrightarrow{O B}$,若$A,B,C$三点共线,则必有(  )

    $A.x+y=1$  $B.x-y=1$

    $C.x=-y$    $D.x,y$为任意实数

    4.已知 $\overrightarrow{O A}, \overrightarrow{O B}, \overrightarrow{O C}$的终点A,B,C在一条直线上,且$\overrightarrow{A C}=-3 \overrightarrow{C B}$,设$\overrightarrow{O A}=\mathbf{p}, \overrightarrow{O B}=\mathbf{q}, \overrightarrow{O C}=\mathbf{r}$,则以下等式成立的是(  )

    blob.png

    $\mathrm{A.r}=-\frac{1}{2} \mathbf{p}+\frac{3}{2} \mathbf{q}$

    $\mathrm{B.r}=-\mathbf{p}+2 \mathbf{q}$

    $\mathrm{C.r}=\frac{3}{2} \mathbf{p}-\frac{1}{2} \mathbf{q}$

    $\mathrm{D.r}=-\mathbf{q}+2 \mathbf{p}$

    5.已知$\mathbf{e}_{1}, \mathbf{e}_{2}$是两个不共线的向量,且$\mathbf{a}=k^{2} \mathbf{e}_{1}+\left(1-\frac{5}{2} k\right) \mathbf{e}_{2}$与$\mathbf{b}=2 \mathbf{e}_{1}+3 \mathbf{e}_{2}$是两个共线向量,则实数$k=$________. 

    6.已知$D,E,F$分别是$\triangle A B C$的边$AB,AC,BC$的中点,

    求证:四边形$BDEF$为平行四边形.

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