半角的正弦、余弦和正切

时间:2019-9-9 19:05:04   作者:数学名师王老师
1.了解由二倍角的变形公式推导半角的正弦、余弦和正切公式的过程.
2.掌握半角的正弦、余弦和正切公式,能正确运用这些公式进行简单的三角函数式的化简、求值和恒等式的证明.
知识点
  • 半角公式

    半角公式的推导过程如下表:

    blob.png

    名师点拨

    1.对于半角公式,也必须明确“半角”是相对而言,不能认为$\frac{\alpha}{2}$ 才是半角.如2$a$是4$a$的半角,$\frac{3 \alpha}{2}$是3$a$的半角.

    2.半角的正切公式除了无理形式外,还有有理形式$\tan \frac{\alpha}{2}=\frac{\sin \alpha}{1+\cos \alpha}=\frac{1-\cos \alpha}{\sin \alpha}$,其推导过程为:$\tan \frac{\alpha}{2}=\frac{\sin \frac{\alpha}{2}}{\cos \frac{\alpha}{2}}=\frac{\sin \frac{\alpha}{2}-2 \cos \frac{\alpha}{2}}{\cos \frac{\alpha}{2}-2 \cos \frac{\alpha}{2}}=\frac{\sin \alpha}{1+\cos \alpha} ; \\ \tan \frac{\alpha}{2}=\frac{\sin \frac{\alpha}{2}}{\cos \frac{\alpha}{2}}=\frac{\sin \frac{\alpha}{2}-2 \sin \frac{\alpha}{2}}{\cos \frac{\alpha}{2}-2 \sin \frac{\alpha}{2}}=\frac{1-\cos \alpha}{\sin \alpha}$
    .由于$\tan \frac{\alpha}{2}=\frac{1-\cos \alpha}{\sin \alpha}$不带有根号,而且分母为单项式,因此运用起来特别方便.

    【做一做1】 若$\cos \alpha=\frac{1}{2}$,则$\sin \frac{\alpha}{2}$等于(  )

    $\mathrm{A} \cdot \frac{1}{2}$ $\mathrm{B} \cdot-\frac{1}{2}$$C . \pm \frac{1}{2} \quad \mathrm{D} . \pm \frac{\sqrt{3}}{2}$

    解析:$\sin \frac{\alpha}{2}=\pm \sqrt{\frac{1-\cos \alpha}{2}}=\pm \frac{1}{2}$

    答案$: \mathrm{C}$

    【做一做2】 已知$\cos \theta=\frac{7}{9}$,且$270^{\circ}<\theta < 360^{\circ}$,则$\cos \frac{\theta}{2}$的值为(  )

    $\mathrm{A} \cdot \frac{\sqrt{2}}{3} \quad \mathrm{B} \cdot-\frac{2 \sqrt{2}}{3} \quad \mathrm{C} \cdot \pm \frac{2 \sqrt{3}}{3} \quad \mathrm{D} \cdot-\frac{\sqrt{2}}{3}$ 

    解析:$\because 270^{\circ}<\theta < 360^{\circ}, \therefore 135^{\circ}<\frac{\theta}{2} < 180^{\circ}$

    $\therefore \cos \frac{\theta}{2}=-\sqrt{\frac{1+\cos \theta}{2}}=-\sqrt{\frac{1+\frac{7}{9}}{2}}=-\frac{2}{3} \sqrt{2}$

    答案:$B$

    【做一做3】 若$\cos \alpha=-\frac{4}{5}, \alpha$是第三象限的角,则$\frac{1+\tan \frac{\alpha}{2}}{1-\tan \frac{\alpha}{2}}=(\quad)$

    $\begin{array}{llll}{\mathrm{A} \cdot \frac{1}{2}} & {\mathrm{B} \cdot \frac{1}{2}} & {\mathrm{C.} 2} & {\mathrm{D} \cdot-2}\end{array}$

    解析:(方法1)由$\cos \alpha=-\frac{4}{5}, \alpha$是第三象限的角,得$\sin \alpha=-\frac{3}{5}$.

    又$\tan \frac{\alpha}{2}=\frac{\sin \alpha}{1+\cos \alpha}=\frac{-\frac{3}{5}}{1+\cos \alpha}=\frac{-\frac{3}{5}}{1+\frac{4}{5}}=-3, \\ \therefore \frac{1+\tan \frac{\alpha}{2}}{1-\tan \frac{\alpha}{2}}=\frac{1-3}{1-(-3)}=-\frac{1}{2}$

    (方法2)$\because \cos \alpha=-\frac{4}{5}, \alpha$为第三象限的角,

    $\therefore \sin \alpha=-\frac{3}{5} . \therefore \tan \alpha=\frac{3}{4}$.

    由$\tan \alpha=\frac{3}{4}=\frac{2 \tan \frac{\alpha}{2}}{1-\tan ^{2} \frac{\alpha}{2}}$,

    得$\tan \frac{\alpha}{2}=\frac{1}{3}$或$\tan \frac{\alpha}{2}=-3$.

    又$\because \pi+2 k \pi<\alpha<\frac{3 \pi}{2}+2 k \pi(k \in \mathbf{Z})$,

    $\therefore \frac{\pi}{2}+k \pi<\frac{\alpha}{2}<\frac{3 \pi}{4}+k \pi(k \in \mathbf{Z})$.

    当$k=2 n(n \in \mathbf{Z})$时,$\frac{\pi}{2}+2 n \pi<\frac{\alpha}{2}<\frac{3 \pi}{4}+2 n \pi$,

    $\therefore \frac{\alpha}{2}$是第二象限的角;

    当$k=2 n+1(n \in \mathbf{Z})$时,$\frac{3 \pi}{2}+2 n \pi<\frac{\alpha}{2}<\frac{7 \pi}{4}+2 n \pi$,

    $\therefore \frac{\alpha}{2}$是第四象限的角.

    $\therefore \tan \frac{\alpha}{2}=-3$

    $\therefore \frac{1+\tan \frac{\alpha}{2}}{1-\tan \frac{\alpha}{2}}=\frac{1-3}{1-(-3)}=-\frac{1}{2}$.

    答案:$A$

重难点
  • 讨论半角的正弦、余弦、正切公式中的无理式前的符号

    剖析(1)当给出的角是某一象限角时,可根据下表决定符号:


    $\alpha$

    $\frac{\alpha}{2}$

    $\sin \frac{\alpha}{2}$

    $\cos \frac{\alpha}{2}$

    $\tan \frac{\alpha}{2}$

    第一象限
    $2 k \pi<  \\  \alpha < 2 k \pi+\frac{\pi}{2}$
    , k为偶数

    第一象限

    $+$

    $+$

    $+$

    第一象限
    $2 k \pi<  \\   \alpha < 2 k \pi+\frac{\pi}{2}$
    , k为奇数

    第三象限

    $-$

    $-$

    $+$

    第二象限
    $2 k \pi+\frac{\pi}{2}< \\ \alpha < 2 k \pi+\pi$
    , k为偶数

    第一象限

    $+$

    $+$

    $+$

    第二象限
    $2 k \pi+\frac{\pi}{2}<  \\  \alpha < 2 k \pi+\pi$
    , k为奇数

    第三象限

    $-$

    $-$

    $+$

    第三象限
    $2 k \pi+\pi<\alpha   \\  < 2 k \pi+\frac{3 \pi}{2}$
    , k为偶数

    第二象限

    $+$

    $-$

    $-$

    第三象限
    $2 k \pi+\pi<\alpha   \\  < 2 k \pi+\frac{3 \pi}{2}$
    , k为奇数

    第四象限

    $-$

    $+$

    $-$

    第四象限
    $2 k \pi+\frac{3 \pi}{2}<  \\  \alpha < 2 k \pi+2 \pi$
    , k为偶数

    第二象限

    $+$

    $-$

    $-$

    第四象限
    $2 k \pi+\frac{3 \pi}{2}<   \\ \alpha < 2 k \pi+2 \pi$
    , k为奇数

    第四象限

    $-$

    $+$

    $-$

    (2)若给出$\alpha$的范围,可先求出 $\frac{\alpha}{2}$的范围,再根据$\frac{\alpha}{2}$的范围确定符号.

    (3)若没有给出决定符号的条件,则要保留正负两个符号.

    知识拓展
    半角公式是由倍角公式变形所得,主要体现了半角的正弦、余弦、正切与单角余弦的关系.除此,我们还可以把$\sin \alpha, \cos \alpha, \tan \alpha$统一用$\tan \frac{\alpha}{2}$表示,显示了正弦、余弦、正切间极强的内在联系.即

    $\sin \alpha=2 \sin \frac{\alpha}{2} \cos \frac{\alpha}{2} \\ =\frac{2 \sin \frac{\alpha}{2} \cos \frac{\alpha}{2}}{\sin ^{2} \frac{\alpha}{2}+\cos ^{2} \frac{\alpha}{2}}=\frac{2 \tan \frac{\alpha}{2}}{1+\tan ^{2} \frac{\alpha}{2}}$

    $\cos \alpha=\cos ^{2} \frac{\alpha}{2}-\sin ^{2} \frac{\alpha}{2}=\frac{\cos ^{2} \frac{\alpha}{2} \sin ^{2} \frac{\alpha}{2}}{\cos ^{2} \frac{\alpha}{2}+\sin ^{2} \frac{\alpha}{2}} \\ =\frac{1-\tan ^{2} \frac{\alpha}{2}}{1+\tan ^{2} \frac{\alpha}{2}}$

    $\tan \alpha=\frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}=\frac{2 \tan \frac{\alpha}{2}}{1-\tan ^{2} \frac{\alpha}{2}}$.

    以上三个公式也称为万能公式.

例题解析
  • 题型一 利用半角公式求值

    【例1】 求值:$(1) \sin 67.5^{\circ} ; \quad(2) \tan \frac{\pi}{8}$

    反思由于$67.5^{\circ}, \frac{\pi}{8}$等角都是确定的,且都是一些特殊角的半角,因此可直接套用公式求解.

    【变式训练1】 求下列各式的值:

    $(1) \cos \frac{\pi}{12} ; \quad$ (2) $\tan \frac{5 \pi}{12}$

    【例2】 已知$\sin \alpha=-\frac{4}{5}, \pi<\alpha<\frac{3 \pi}{2}$,求$\sin \frac{\alpha}{2}, \cos \frac{\alpha}{2}, \tan \frac{\alpha}{2}$.

    分析先由$\sin a$的值求出$\cos \alpha$的值,然后利用半角公式求解. 

    反思

    在套用公式时,一定注意求解顺序和所用到的角的范围问题,其次还要注意选用公式要灵活.

    【变式训练2】 (1)已知$\cos \theta=-\frac{1}{5}, \frac{5 \pi}{2}<\theta < 3 \pi$,则$\sin \frac{\theta}{2}$等于(  )

    $\begin{array}{lll}{\mathrm{A} \cdot \frac{\sqrt{10}}{5}} & {\mathrm{B} \cdot-\frac{\sqrt{10}}{5}} & {\mathrm{C} \cdot \frac{\sqrt{15}}{5}} & {\mathrm{D} \cdot \frac{\sqrt{15}}{5}}\end{array}$

    (2)已知$\alpha$是第三象限的角,且$\sin \alpha=-\frac{24}{25}$,则$\tan \frac{\alpha}{2}$等于(  )

    $\mathrm{A} \cdot -\frac{3}{4} \quad \mathrm{B}_{4}^{3} \quad \mathrm{C}_{3}^{4} \quad \mathrm{D} \cdot -\frac{4}{3}$

  • 题型二 利用半角公式证明或化简三角函数式

    【例3】 求证:$\frac{\cos ^{2} \alpha}{\tan \frac{\alpha}{2} \tan \frac{\alpha}{2}}=\frac{1}{4} \sin 2 \alpha$.

    分析解答本题可将切化弦,然后利用半角、倍角公式化简. 

    反思

    证明三角恒等式的实质是消除等式两边的差异,有目的地化繁为简、左右归一或变更论证.对恒等式的证明,应遵循化繁为简的原则,从左边推到右边或从右边推到左边,也可以用左右归一、变更论证等方法.常用定义法、化弦法、化切法、拆项拆角法、“1”的代换法、公式变形法,要熟练掌握基本公式,善于从中选择巧妙简捷的方法.

    【变式训练3】 化简:$\frac{1+\sin \alpha}{\sqrt{1+\cos \alpha}-\sqrt{1-\cos \alpha}}+\frac{1-\sin \alpha}{\sqrt{1+\cos \alpha}+\sqrt{1-\cos \alpha}}$,

    其中$\pi<\alpha<\frac{3 \pi}{2}$.

  • 题型三 易错辨析

    易错点:忽视分类讨论致错

    【例4】 在等腰三角形中,已知顶角$\theta$的正弦值为$\frac{3}{5}$,试求该三角形底角的正弦、余弦和正切值.

    【变式训练4】 已知等腰三角形顶角的余弦值为$\frac{4}{5}$,则这个三角形底角的正弦值为(  )

    $\mathrm{A} . \frac{\sqrt{10}}{10}$ $\mathrm{B} .-\frac{\sqrt{10}}{10} \quad \mathrm{C} \cdot \frac{3 \sqrt{10}}{10}$  $\mathrm{D} .-\frac{3 \sqrt{10}}{10}$

  • 真题

    1.已知$\cos \alpha=-\cos ^{2} \frac{\alpha}{2}$,则$\cos \frac{\alpha}{2}$等于(  )

    $\mathrm{A} \cdot \pm \frac{\sqrt{3}}{3}$ $\mathrm{B} \cdot \frac{\sqrt{3}}{3} \quad$ C.- $-\frac{\sqrt{3}}{3} \quad \mathrm{D} \cdot \pm \frac{1}{3}$

    2.下列各式与$\tan \alpha$相等的是(  )

    $\begin{array}{ll}{\mathrm{A} \cdot \sqrt{\frac{1-\cos 2 \alpha}{1+\cos 2 \alpha}}} & {\mathrm{B} \cdot \frac{\sin \alpha}{1+\cos \alpha}} \\ {\mathrm{C} \cdot \frac{\sin \alpha}{1-\cos 2 \alpha}} & {\mathrm{D} \frac{1-\cos 2 \alpha}{\sin 2 \alpha}}\end{array}$

    3.设$5 \pi<\theta < 6 \pi, \cos \frac{\theta}{2}=a$,则$\sin \frac{\theta}{4}$等于(  )

    $\begin{array}{ll}{\mathrm{A} .-\frac{\sqrt{1+a}}{2}} & {\mathrm{B} \cdot \sqrt{\frac{1-a}{2}}} \\ {\mathrm{C} \cdot \sqrt{\frac{1+a}{2}}} & {\mathrm{D} .-\frac{\sqrt{\frac{1-a}{1-a}}}{2}}\end{array}$

    4.若$\tan \alpha=\frac{3}{4}$,且$\pi<\alpha<\frac{3 \pi}{2}$,则$\cos \frac{\alpha}{2}$的值等于(  )

    $\mathrm{A} \cdot \frac{\sqrt{10}}{10} \quad \mathrm{B} \cdot \frac{\sqrt{10}}{10} \quad \mathrm{C} \cdot \frac{\sqrt{5}}{5} \quad \mathrm{D} \cdot-\frac{\sqrt{5}}{5}$

    5.若$\frac{1-\cos \alpha}{\sin \alpha}=\frac{1}{2}$,则$\tan \alpha$的值等于(  )

    $\mathrm{A} \cdot \frac{4}{3}$ $\mathrm{B} \cdot \frac{3}{4} \quad \mathrm{C.}-\frac{4}{3} \quad \mathrm{D} \cdot-\frac{3}{4}$

    6.化简:$\cos ^{2} A+\cos ^{2}\left(\frac{\pi}{3}-A\right)+\cos ^{2}\left(\frac{\pi}{3}+A\right)$

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