不等式的实际应用

时间:2019-9-9 19:05:04   作者:数学名师王老师
1.能把现实世界和日常生活中的不等关系转化为不等式问题,能运用不等式的知识和方法解决常见的实际问题(如比较大小,确定范围,求最值等).
2.了解如何建立数学模型,体会数学知识和客观实践之间的相互关系,培养良好的数学意识和情感态度.
知识点
  • 1.例题中的结论

    若$b>a>0, m>0$,则$\frac{a+m}{b+m}>\frac{a}{b}$.

    另外,若当$a>b>0, m>0$时,则有$\frac{a+m}{b+m}<\frac{a}{b}$成立.

  • 2.利用不等式解决实际问题的步骤

    (1)设未知数:用字母表示题中的未知量.

    (2)列不等式(组):找出题中的不等关系,列出关于未知数的不等式(组).

    (3)解不等式(组):运用不等式知识求解不等式,同时要注意未知数在实际问题中的取值范围.

    (4)答:规范地写出答案.

    归纳总结    
           在解决实际应用问题时,首先要学会正确地梳理数据,从而为寻找数据之间的关系奠定良好的基础,进而建立起相应的能反映问题实质的数学结构,构建数学模型,再利用不等式求解,即解实际应用题的思路为:

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重难点
  • 一、解应用题的流程

    剖析:数学问题就是数学语言的理解问题,数学语言具有简洁、准确的特点,但同时也具有丰富的内涵,而数学应用题多使用自然语言进行叙述,所以,对文字的理解就显得非常重要,要正确理解应用题的含义主要可以从以下几个步骤入手:

    (1)略读识大意.应用题实际上是一篇说明文,一般文字比较多,信息量比较大.这就需要快速浏览一遍,理解题目的大意:题目叙述的是什么事,是什么问题(比如不等式问题,是求最值还是要解不等式得出结论等).条件是什么,求解的是什么,涉及哪些基本概念,可以一边阅读一边写下主要内容,或者列表显示主要条件和要求的结论.

    (2)细读抓关键.题目中关键词语和重要语句往往是重要的信息所在,将其辨析出来是实现综合认知的出发点.因此,在略读以后还要对题目进行逐字逐句地细读,弄清具体含义及各量之间的关系.

    (3)精读巧转换.领会题意的关键是“内部转化”,即把一个抽象的内容转化为一个具体的内容,把文字叙述转化为符号或图表,总之,大脑要有灵活的转化思维.

  • 二、常见的不等式实际应用类型

    剖析:常见的不等式实际应用问题有以下几种:

    (1)作差法解决实际问题

    作差法的依据是$a-b>0 \Leftrightarrow a>b$,其基本步骤是:

    ①理解题意,准确地将要比较的两个对象用数学式子表示出来.

    ②作差,分析差的符号.

    ③将作差后的结论转化为实际问题的结论.

    (2)应用均值不等式解决实际问题

    ①均值不等式:$a, b>0, \frac{a+b}{2} \geq \sqrt{a b}$当且仅当$a=b$时,等号成立).

    若当$a b=P($定值$)$时,则当$a=b$时,$a+b$有最小值2$\sqrt{P}$;

    若当$a+b=S($定值$)$时,则当$a=b$时,$a b$有最大值$\frac{1}{4} S^{2}$.

    ②注意利用均值不等式必须有前提条件:“一正、二定、三相等”.为了创造利用均值不等式的条件,常用技巧有配凑因子、拆项或平方.

    名师点拨

    在建立不等关系时,一定要弄清楚各种方法的适用范围及未知量的取值范围,不可盲目使用.

例题解析
  • 一元二次不等式的实际应用

    【例1】 某企业生产一种产品$x$(百件)的成本为$(3 x-3)$万元,销售总收入为$\left(2 x^{2}-5\right)$万元,如果要保证该企业不亏本,那么至少生产该产品为_________(百件). 

    反思

    利用一元二次不等式解决实际问题的一般步骤:

    (1)理解题意,弄清量与量之间的关系;

    (2)建立相应的不等关系,把实际问题抽象为一元二次不等式问题;

    (3)解这个一元二次不等式问题;

    (4)给出实际问题的答案.

    【变式训练1】 某商人如果将进货单价为8元的商品按每件10元出售,每天可销售100件,现在他采用提高售价,减少进货量的办法增加利润.已知这种商品每件销售价提高1元,销售量就要减少10件,问他将销售价每件定为多少元时,才能使得每天所赚的利润最大?销售价定为多少元时,才能保证每天所赚的利润在300元以上?

  • 利用均值不等式解应用题

    【例2】 某种汽车,购车费用是10万元,每年使用的保险费、汽油费约为0.9万元,年维修费第一年是0.2万元,以后逐年递增0.2万元.问这种汽车使用多少年时,它的年平均费用最少?

    分析:每年的保险费、汽油费等是一个定数,关键是每年的维修费逐年递增,构成一个等差数列,只需求出x年的总费用(包括购车费)除以x年,即为平均费用y.列出函数关系式,再求解.

    反思

    应用两个正数的均值不等式解决实际问题的方法步骤是:(1)先理解题意,设变量,设变量时一般把要求最大值或最小值的变量定为函数;(2)建立相应的函数关系式,把实际问题抽象为函数的最大值或最小值问题;(3)在定义域内,求出函数的最大值或最小值;(4)写出正确答案.

    【变式训练2】 经观测,某公路段在某时段内的车流量$y$(单位:千辆/时)与汽车的平均速度$v$(单位:km/h)之间有函数关系:

    $y=\frac{920 v}{v^{2}+3 v+1600}(v>0)$

    (1)在该时段内,当汽车的平均速度$v$为多少时车流量$y$最大?最大车流量为多少?

    (2)为保证在该时段内车流量至少为10千辆/时,则汽车的平均速度应控制在什么范围内?

    分析:(1)实质上是求$y$的最大值,分子分母同除以$v$后利用均值不等式.(2)只需解不等式$y \geq 10$即可.

  • 易错辨析

    易错点:忽视给定参数的大小比较而导致错误

    【例3】 甲、乙两地水路相距s km,一条船由甲地逆流匀速行驶至乙地,水流速度为常量$p \mathrm{km} / \mathrm{h}$,船在静水中的最大速度为$q \mathrm{km} / \mathrm{h}(q>p)$.已知船每小时的燃料费用(单位:元)与船在静水中的速度v(单位:$\mathrm{km} / \mathrm{h} )$)的平方成正比,比例系数为k.

    (1)把全程燃料费用y(单位:元)表示为船在静水中的速度$v(\mathrm{km} / \mathrm{h})$的函数,并指出这个函数的定义域;

    (2)为了使全程燃料费用最少,船的实际前进速度应是多少?

  • 真题

    1.某居民小区收取冬季供暖费,根据规定,住户可以从以下两种方案中任选其一:(1)按照使用面积缴纳,每平方米24元;(2)按照建筑面积缴纳,每平方米18元.李明家的使用面积是60 $\mathrm{m}^{2}$.如果他家选择第(2)种方案缴纳的供暖费不多于按第(1)种方案缴纳的供暖费,那么他家的建筑面积最多不超过(  )

    A. 70 $\mathrm{m}^{2} \mathrm{B.80} \mathrm{m}^{2}$

    $\mathrm{C.} 90 \mathrm{m}^{2} \mathrm{D.} 100 \mathrm{m}^{2}$

    2.某公司租地建仓库,每月土地费用与仓库到车站距离成反比,而每月货物的运输费用与仓库到车站距离成正比.如果在距离车站10$\mathrm{km}$处建仓库,则土地费用和运输费用分别为2万元和8万元,那么要使两项费用之和最小,仓库应建在离车站(  )处.

    $\begin{array}{ll}{\text { A.5 } \mathrm{km}} & {\text { B.4 } \mathrm{km}} \\ {\mathrm{C.} 3 \mathrm{km}} & {\mathrm{D.} 2 \mathrm{km}}\end{array}$

    3.某单位的甲、乙、丙三人出差去A城办事,在安排住宿时,他们有三套住宿方案可供选择:(1)三人同住一个套间;(2)二人住标准间(双人间)、一人住单间;(3)三人各住一个单间.若宾馆方面对每个套间、每个标准间及每个单间的标价分别为300元、160元和60元,同时对客户实行打折优惠,但这三类房间的打折率各不相同,分别为50%,65%和85%,则这三套住宿方案中最经济的为(  )

    A.第一套方案  B.第二套方案

    C.第三套方案  D.这三套方案都一样

    4.用两种金属材料做一个矩形框架,按要求长(较长的边)和宽应选用的金属材料价格每1 m分别为3元和5元,且长和宽必须是整数,现预算花费不超过100元,则做成矩形框架围成的最大面积是_________. 

    5.某商场预计全年分批购入每台价值为2 000元的电视机共3 600台,每批都购入$x\left(x \in \mathbf{N}_{+}\right)$台,且每批均需运费400元,贮存购入的电视机全年所付保管费与每批购入电视机的总价值(不含运费)成正比,若每批购入400台,则全年需用去运输和保管费用总计43 600元,现在全年只有24 000元资金可以用于支付这笔费用.请问:能否恰当安排每批进货的数量,使资金够用?求出结论,并说明理由.

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