等差数列

时间:2019-9-9 19:05:04   作者:数学名师王老师
1.理解等差数列的概念.
2.掌握等差数列的通项公式和等差中项的概念.
3.理解等差数列的性质.
知识点
  • 1.等差数列的概念

    一般地,如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的差都等于同一个常数,那么这个数列就叫做等差数列.这个常数叫做等差数列的公差,公差通常用字母$d$表示.

    名师点拨

    1.定义中从“第2项起”,这一条件是指第1项是首项,前面没有其他项.

    2.“每一项与它的前一项的差”说明了运算的顺序,必须是后项减前项,而且必须是相邻的两项.

    3.“同一常数”是指每一项与它前一项的差必须相同,否则不是等差数列.

    【做一做1】 如果一个数列的前3项分别为1,2,3,那么下列结论中正确的是(  )

    A.它一定是等差数列 

    B.它一定是递增数列

    C.它一定是有穷数列 

    D.以上结论都不一定正确

    答案:$D$

  • 2.等差数列的通项公式

    如果一个等差数列$\left\{a_{n}\right\}$的首项为$a_{1}$,公差为d,则通项公式为$a_{n}=a_{1}+(n-1) d$.

    名师点拨

    等差数列通项公式的其他形式.

    $(1) a_{n}=a_{m}+(n-m) d ;(2) a_{n}=a n+b(a, b$是常数$)$.

    【做一做2-1】 已知数列$\left\{a_{n}\right\}$的通项公式为$a_{n}=2(n+1)+3$,则此数列(  )

    A.是公差为2的等差数列

    B.是公差为3的等差数列

    C.是公差为5的等差数列

    D.不是等差数列

    解析:已知$a_{1}=7, a_{n}-a_{n-1}=2(n \geqslant 2)$,故这是一个以2为公差的等差数列.

    答案:$A$

    【做一做2-2】 等差数列$1,-1,-3, \cdots,-89$的项数是 (  )

    A.92  B.47 

    C.46  D.45

    解析:由已知,得$a_{1}=1, d=(-1)-1=-2$,

    $\therefore a_{n}=1+(n-1) \times(-2)=-2 n+3$.

    令$-2 n+3=-89$,得$n=46$.

    答案:$\mathrm{C}$

  • 3.等差中项

    如果三个数$x, A, y$组成等差数列,那么A叫做x和y的等差中项.$x, A, y$是等差数列的充要条件是$2 A=x+y$.

    归纳总结
    1.当三个数成等差数列时,一般设为$a-d, a, a+d$;当四个数成等差数列时,一般设为$a-3 d, a-d, a+d, a+3 d$.

    2.在等差数列$\left\{a_{n}\right\}$中,从第2项起,每一项(有穷等差数列的末项除外)都是它的前一项与后一项的等差中项,表示为$a_{n+1}=\frac{a_{n}+a_{n+2}}{2}$,等价于$a_{n}+a_{n+2}=2 a_{n+1}, a_{n+1}-a_{n}=a_{n+2}-a_{n+1}$.

    【做一做3】已知在$\triangle A B C$中,三内角$A, B, C$成等差数列,则$\angle B$等于(  )

    $A .30^{\circ} B .60^{\circ}$

    $C .90^{\circ} D .120^{\circ}$

    答案:$B$

重难点
  • 一、解读等差数列的概念

    剖析:(1)在等差数列的定义中,要注意两点,“从第2项起”及“同一个常数”.因为数列的第1项没有前一项,因此强调从第2项起,如果一个数列,不从第2项起,而是从第3项或从第4项起,每一项与它的前一项的差都等于同一个常数,那么此数列不是等差数列,但可以说从第2项或第3项起是一个等差数列.一个数列,从第2项起,每一项与它的前一项的差,尽管等于常数,这个数列也不一定是等差数列,因为这个常数可以不同.

    (2)求公差$d$时,可以利用$d=a_{n}-a_{n-1}(n \geq 2)$或$d=a_{n+1}-a_{n}$来求.

    (3)公差$d \in \mathbf{R}$,当$d=0$时,数列为常数列;当$d>0$时,数列为递增数列;当$d < 0$时,数列为递减数列.

    (4)$d=a_{n}-a_{n-1}(n \geq 2)$或$d=a_{n+1}-a_{n}$是证明一个数列是等差数列的依据,切忌只通过计算数列中特殊几项的差,发现它们是同一常数,就断定此数列为等差数列.

  • 二、等差数列的性质

    剖析:若数列$\left\{a_{n}\right\}$是公差为$d$的等差数列,

    $(1) d=\frac{a_{n}-a_{1}}{n-1}=\frac{a_{m}-a_{k}}{m-k}\left(m, n, k \in \mathbf{N}_{+}\right)$

    $(2) a_{n}=a_{m}+(n-m) d\left(n, m \in \mathbf{N}_{+}\right)$

    (3)若$m+n=p+q\left(m, n, p, q \in \mathbf{N}_{+}\right)$,则$a_{m}+a_{n}=a_{p}+a_{q}$.

    (4)若$\frac{m+n}{2}=k$,则$a_{m}+a_{n}=2 a_{k}$.

    (5)若数列$\left\{a_{n}\right\}$是有穷等差数列,则与首末两项等距离的两项之和都相等,且等于首末两项之和,即$a_{1}+a_{n}=a_{2}+a_{n-1} \\ =\cdots=a_{i+1}+a_{n-i}=\cdots$

    (6)数列$\left\{\lambda a_{n}+b\right\}(\lambda, b$是常数$)$是公差为$\lambda d$的等差数列.

    (7)下标成等差数列且公差为$m$的项$a_{k}, a_{k+m}, a_{k+2 m}, \cdots\left(k, m \in \mathbf{N}_{+}\right)$组成公差为$m d$的等差数列.

    (8)若数列$\left\{b_{n}\right\}$也为等差数列,则$\left\{a_{n} \pm b_{n}\right\},\left\{k a_{n}+b_{n}\right\}(k$为非零常数$)$也成等差数列.

    (9)若$\left\{a_{n}\right\}$是等差数列,则$a_{1}, a_{3}, a_{5}, \cdots$仍成等差数列.

    (10)若$\left\{a_{n}\right\}$是等差数列,则$a_{1}+a_{2}+a_{3}, a_{4}+a_{5}+a_{6}, a_{7}+a_{8}+a_{9}, \cdots$仍成等差数列.

  • 三、教材中的“?”

    (1)通项公式为$a_{n}=a n-b(a, b$是常数$)$的数列都是等差数列吗?

    剖析:通项公式为$a_{n}=a n-b(a, b$为常数$)$的数列都是等差数列,其公差为$a$.

    (2)怎么证明$A=\frac{x+y}{2} ?$

    剖析:因为$x, A, y$成等差数列,

    所以$A-x=y-A$,即$2 A=x+y$.

    所以$A=\frac{x+y}{2}$.

    (3)要确定一个等差数列的通项公式,需要知道几个独立的条件?

    剖析:因为等差数列的通项公式中涉及首项$a_{1}$与公差$d$,所以要确定一个等差数列的通项公式,需要知道两个独立的条件.

例题解析
  • 等差数列的判断

    【例1】 判断下列数列是否为等差数列.

    $(1) a_{n}=3 n+2 ;(2) a_{n}=n^{2}+n$.

    分析:利用等差数列的定义,即判断$a_{n+1}-a_{n}\left(n \in \mathbf{N}_{+}\right)$是否为常数.

    反思

    1.利用定义法判断等差数列时,关键是看$a_{n+1}-a_{n}$得到的结果是否是一个与$n$无关的常数,若是,即为等差数列,若不是,则不是等差数列.

    2.等差数列的判断方法.

    (1)定义法:$a_{n}-a_{n-1}=d(n \geqslant 2)$或$a_{n+1}-a_{n}=d \Leftrightarrow$数列$\left\{a_{n}\right\}$是等差数列;

    (2)等差中项法:$2 a_{n}=a_{n-1}+a_{n+1}(n \geqslant 2) \Leftrightarrow$数列$\left\{a_{n}\right\}$为等差数列;

    (3)通项公式法:$a_{n}=a n+b \Leftrightarrow$数列$\left\{a_{n}\right\}$是以$a_{1}=a+b$为首项,以$a$为公差的等差数列.

    【变式训练1】 已知$\frac{1}{b+c}, \frac{1}{c+a}, \frac{1}{a+b}$成等差数列,试证:$a^{2}, b^{2}, c^{2}$也成等差数列.

    分析:要证明三个数成等差数列,一般只要证明中间项是另两项的等差中项即可.

  • 等差数列的通项公式及其应用

    【例2】 已知递减等差数列$\left\{a_{n}\right\}$的前三项和为18,前三项的乘积为66,求数列$\left\{a_{n}\right\}$的通项公式,并判断-34是数列$\left\{a_{n}\right\}$的项吗?

    分析:由数列前三项和为18,前三项积为66,列出关于$a_{1}$和$d$的方程组,通过解方程组求得$a_{1}$和$d$,由递减等差数列的条件确定方程组的解即可求出$a_{n}$;由$a_{n}=-34$求n,然后由$n \in \mathbf{N}_{+}$可判断.

    【互动探究】若将本例中的“递减等差数列”改为“递增等差数列”,其余条件不变,结果如何?

    反思
    1.已知等差数列的首项和公差,可以求得这个数列中的任一项.

    2.在等差数列中,已知$a_{1}, n, d, a_{n}$这四个量中的三个,可以求得第四个量,即“知三求一”.

    3.待定系数法求等差数列的通项公式是基本方法.

    【变式训练2】 已知递增的等差数列$\left\{a_{n}\right\}$满足$a_{1}=1, a_{3}=a_{2}^{2}-4$,则$a_{n}=$________. 

  • 等差数列性质的应用

    【例3】 已知在等差数列$\left\{a_{n}\right\}$中,$a_{2}+a_{6}+a_{10}=1$,求$a_{3}+a_{9}$.

    分析:既可以用等差数列的性质得到$a_{2}+a_{10}=a_{3}+a_{9}=2 a_{6}$,也可以由通项公式得$a_{1}$与$d$间的关系再求解.

    反思

    方法一运用了等差数列的性质:若$m+n=p+q=2 w$,则$a_{m}+a_{n}=a_{p}+a_{q}=2 a_{w}(m, n, p, q, w$都是正整数$)$;方法二利用通项公式转化为数列的首项与公差的结构完成运算,属于通法.两种方法都运用了整体代换及方程的思想.

    【变式训练3】 已知在等差数列$\left\{a_{n}\right\}$中,$a_{1}+3 a_{8}+a_{15}=120$,求$2 a_{9}-a_{10}$的值.

    【例4】 在等差数列$\left\{a_{n}\right\}$中,若$a_{3}+a_{8}+a_{13}=12, a_{3} a_{8} a_{13}=28$,求$\left\{a_{n}\right\}$的通项公式.

    分析:由于题中数列$\left\{a_{n}\right\}$是等差数列,则联想到利用等差数列的性质求解.

    反思

    用通项公式解答等差数列问题的基本方法主要是:(1)采用基本量法,即解得数列的首项$a_{1}$,公差$d$,运用通项公式解决问题;(2)灵活运用性质,这是简化等差数列运算的有效手段.

    【变式训练4】 已知在等差数列$\left\{a_{n}\right\}$中,$a_{49}=80, a_{59}=100$,求$a_{79}$的值.

    分析:(1)采用基本量法求解;(2)灵活运用性质求解.

  • 构造等差数列求通项公式

    【例5】 数列$\left\{a_{n}\right\}$的各项均为正数,且满足$a_{n+1}=a_{n}+2 \sqrt{a_{n}}+1, a_{1}=1$,求$a_{n}$.

    分析:利用题中所给关系的结构特征,构造等差数列,利用所构造的等差数列求$a_{n}$.

    反思

    应熟记几种辅助数列构造方法及其对应数列的结构形式.构造等差数列的方法一般有:平方法、开平方法、倒数法等.

    【变式训练5】 在数列$\left\{a_{n}\right\}$中,$a_{1}=1, a_{n+1}=\frac{2 a_{n}}{a_{n}+2}$,求$a_{n}$. 

  • 易错辨析

    易错点1:忽视公差取值的多样性而致误

    【例6】 已知$b$是$a, c$的等差中项,且$\lg (a+1), \lg (b-1), \lg (c-1)$成等差数列,同时$a+b+c=15$,求$a, b, c$的值.

    易错点2:错误理解两数列的相同项而致误

    【例7】 已知两个等差数列$\left\{a_{n}\right\} : 5,8,11, \cdots$与$\left\{b_{n}\right\} : 3,7,11, \cdots$,它们的项数均为100,则它们有多少个彼此具有相同数值的项?

  • 真题

    1 已知$m$和2$n$的等差中项是$4,2 m$和$n$的等差中项是5,则$m$和$n$的等差中项是(  )

    A.2  B.3  C.6  D.9

    2 已知$\left\{a_{n}\right\}$是首项$a_{1}=1$,公差$d=3$的等差数列,若$a_{n}=2014$,则序号$n$等于(  )

    A.669  B.670 

    C.671  D.672

    3.在等差数列$\left\{a_{n}\right\}$中,已知$a_{3}=7, a_{5}=a_{2}+6$,则$a_{6}=$________.

    4.若$2, a, b, c, 9$成等差数列,则$c-a=$________. 

    5.在等差数列$\left\{a_{n}\right\}$中,$a_{3}+a_{4}+a_{5}=84, a_{9}=73$.求数列$\left\{a_{n}\right\}$的通项公式.

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