数列

时间:2019-9-9 19:05:04   作者:数学名师王老师
1.理解数列的概念,了解数列的几种分类.
2.理解数列通项公式的概念及意义.
3.了解数列与函数的关系.
知识点
  • 1.数列的有关概念

    (1)数列的定义:按照一定次序排列起来的一列数叫做数列,数列中的每一个数都叫做这个数列的项.

    (2)数列的一般形式可以写成$a_{1}, a_{2}, a_{3}, \cdots, a_{n}, \cdots,$,此数列可简记作$\left\{a_{n}\right\}$,其中数列的第$n$项记作$a_{n}$,这里$\left\{a_{n}\right\}$是数列的简记符号,并不表示一个集合.

    归纳总结
    对于定义的理解,应注意以下几点:

    (1)数列的项与项的序号是不同的概念.数列的项是指这个数列中的某一个确定的数,是一个函数值,也就是相当于$f(n)$,而项的序号是指这个数在数列中的位置序号,它是自变量的值,相当于$f(n)$中的n.

    (2)次序对于数列来讲是十分重要的,几个不同的数,由于它们的排列次序不同,构成的数列就不是同一个数列,显然数列与数集有本质的区别.

    例如,2,3,4,5,6这5个数按不同的次序排列时,就会得到不同的数列,而$\{2,3,4,5,6\}$中的元素不论按怎样的次序排列都是同一个集合.

    (3)数列$a_{1}, a_{2}, \cdots, a_{n}$,不可以写成$\left\{a_{1}, a_{2}, \cdots, a_{n}\right\}$,但是可以简记为$\left\{a_{n}\right\}$.

    【做一做1】 将正整数的前5个数排列成四种形式:①1,2,3,4,5;②5,4,3,2,1;③2,1,5,3,4;④4,1,5,3,2.其中可以称为数列的序号是_________. 

    答案:①②③④

  • 2.数列的通项公式

    如果数列$\left\{a_{n}\right\}$的第$n$项$a_{n}$与$n$之间的关系可以用一个函数式$a_{n}=f(n)$来表示,那么这个公式就叫做这个数列的通项公式.

    名师点拨

    1.数列可以用通项公式来描述,也可以用表格或图象来表示;

    2.数列不一定都有通项公式,如果有,也不一定唯一.

    【做一做2】 下列解析式中不是数列1,-1,1,-1,…的通项公式的是(  )

    A. $a_{n}=(-1)^{n}$

    B. $a_{n}=(-1)^{n+1}$

    C. $a_{n}=(-1)^{n-1}$

    blob.png  

    解析:令$n=1$,在$a_{n}=(-1)^{n+1}$中,$a_{1}=(-1)^{1+1}=1$,

    同样在 $a_{n}=(-1)^{n-1}$,blob.png中均有$a_{1}=1$,符合题意.

    而在$a_{n}=(-1)^{n}$中, $a_{1}=(-1)^{1}=-1$,不符合题意,故选A.

    答案:A

  • 3.数列与函数的关系

    在数列$\left\{a_{n}\right\}$中,对于每一个正整数$n$,都有一个数$a_{n}$与之对应,因此,数列可以看作是一个定义域为正整数集$\mathbf{N}_{+}$(或它的有限子集$\{1,2, \cdots, n\} )$的函数$a_{n}=f(n)$,即当自变量按照从小到大的顺序依次取值时,所对应的一列函数值.反过来,对于函数$y=f(x)$,如果$f(i)(i=1,2,3, \cdots)$有意义,那么我们可以得到一个数列$f(1), f(2), f(3), \cdots, f(n), \cdots$.其图象是一群孤立的点.

    名师点拨

    数列中,自变量的取值必须从小到大取正整数.

    【做一做3】 数列$\left\{a_{n}\right\}$的通项公式$a_{n}=f(n)$,作为函数,它的定义域是(  )

    A.正整数集$\mathbf{N}_{+}$

    B.自然数集N

    C.正整数集$\mathbf{N}_{+}$或$\mathbf{N}_{+}$的任一子集

    D.正整数集$\mathbf{N}_{+}$或其有限子集$\{1,2,3, \cdots, n\}$

    答案:D

  • 4.数列的分类

    (1)按项的个数分类

    类别

    含义

    有穷数列

    项数有限的数列

    无穷数列

    项数无限的数列

    (2)按项的变化趋势分类

    类别

    含义

    递增数列

    从第二项起,每一项大于它的前一项的数列

    递减数列

    从第二项起,每一项小于它的前一项的数列

    常数列

    各项都相等的数列

    【做一做4】 已知下列数列:

    ①2 000,2 005,2 010,2 015;

    ②$0, \frac{1}{2}, \frac{2}{3}, \cdots, \frac{n-1}{n}, \cdots$;

    ③$1, \frac{1}{2}, \frac{1}{4}, \cdots, \frac{1}{2^{n-1}}, \cdots$;

    ④$1,-\frac{2}{3}, \frac{3}{5}, \cdots, \frac{(-1)^{n-1} \cdot n}{2 n-1}, \cdots$;

    ⑤$1,0,-1, \cdots, \sin \frac{n \pi}{2}, \cdots$.

    其中,有穷数列是_________,无穷数列是_________. 

    答案:① ②③④⑤

重难点
  • 一、对数列通项公式的理解

    剖析:(1)数列的通项公式实际上是一个以正整数集或它的有限子集$\{1,2, \cdots, n\}$为定义域的函数表达式.

    (2)如果知道了数列的通项公式,那么依次用$1,2,3,…$去替代公式中的$n$就可以求出这个数列的各项;同时,用数列的通项公式也可以判断某个数是不是数列中的项,如果是的话,是第几项.

    (3)与所有的函数关系不一定都有解析式一样,并不是所有的数列都有通项公式.如$\sqrt{2}$的不足近似值,精确到$1,0.1,0.01,0.001,0.0001,…$,所构成的数列$1,1.4,1.41,1.414,1.4142,…$就没有通项公式.


    (4)数列的通项公式在形式上不一定是唯一的,如数列:$-1,1,-1,1,-1,1,…$,它可以写成$a_{n}=(-1)^{n}$,也可以写成blob.png还可以写成$a_{n}=(-1)^{n+2}(n=1,2,3, \cdots)$等,这些通项公式,形式上虽然不同,但都表示同一个数列.

    (5)在给出数列的前几项,归纳其通项公式时,因为所给的项并不能完整体现数列的构成规律,所以其通项公式一般不唯一.

  • 二、函数思想在数列中的应用

    剖析:数列是一种特殊的函数,判断数列的单调性,求数列的最值、周期等都可以利用函数的思想来解决.

    (1)数列是一种特殊的函数,其定义域为正整数集(或它的有限子集$\{1,2, \ldots, \mathrm{n}\} )$,值域是数列中的项的集合.

    (2)数列的通项公式是项$a_{n}$与项数$n$的关系式.从函数的思想看,就是函数值$a_{n}$与自变量$n$的关系式.利用通项公式求数列中的项的问题,从函数的观点看就是已知函数解析式求函数值的问题.因此,用函数的思想解决数列问题可使问题变得更简单.

    (3)数列中求数列最大(小)项的问题就是用函数的思想求函数的最值问题,可利用函数求最值的方法求数列中的最大(小)项问题,如图象法等,可使问题简单化.

    (4)数列中求数列的单调性问题就是用函数的思想求数列的单调性问题,可利用函数单调性的定义求数列的单调性,使问题函数化.

    总之,在函数中研究的函数性质在数列中都有可能用到,利用函数的思想解决数列有关问题可达到事半功倍的效果.

  • 三、教材中的“思考与讨论”

    是否存在一个各项都小于5的无穷递增数列?如果存在,请写出一个这样的数列的通项公式.(提示:先定义一个在$(0,+\infty)$内,且函数值都小于5的函数)

    剖析:存在这样的数列,如$a_{n}=-\frac{1}{n}, a_{n}=5-\frac{2}{n}$等均满足条件.

例题解析
  • 数列的概念

    【例1】 下列哪些表示数列?哪些不表示数列?

    $(1)\{1,5,2,3,6,7\}$;

    (2)方程$x(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)=0$的解;

    $(3) f(x)=x^{2}-x+2$的函数值$f(-1), f(0), f(1), f(2)$;

    (4)当$x=1$时,$x, x+1, x-2, x^{2}, 2^{x}$的值;

    $(5)-3,-1,1, x, 5,7, y, 11$.

    分析:由数列的定义,抓住两点:(1)是不是一列数;(2)是否按照一定的顺序排列,即可判断出是否为数列.

    反思

    运用数列的定义判断一组元素是不是数列的一般步骤是:(1)判断这组元素是否都是数;(2)判断这组元素是否按照一定的顺序排列.

    【变式训练1】 下列说法正确的是(  )

    A.数列1,3,5,7可以表示为$\{1,3,5,7\}$

    B.数列-1,0,1,2与数列2,1,0,-1是同一数列

    C.数列中的各项必定是不同的

    D.数列-1,3,6,-5的第三项是6

  • 由数列的前几项写通项公式

    【例2】 分别写出下列数列的一个通项公式:

    $(1)-1 \frac{1}{4}, 3 \frac{2}{9},-5 \frac{3}{16}, 7 \frac{4}{25},-9 \frac{5}{36}, \cdots$

    $(2) 4,-\frac{5}{2}, 2,-\frac{7}{4}, \cdots$

    $(3) 5,55,555,5555, \cdots$

    $(4) 1,1, \frac{5}{7}, \frac{7}{15}, \frac{9}{31}, \cdots$

    $(5) \sqrt{3}, 3, \sqrt{15}, \sqrt{21}, 3 \sqrt{3}, \cdots$

    分析:从前几项中观察出项与序号之间的规律,用一个式子表达出来即可.

    反思

    1.根据数列的前几项,要写出它的一个通项公式,其关键在于观察、分析数列的前几项的特征,找到数列的一个构成规律.根据此规律便可写出一个相应的通项公式.

    2.常见数列的通项公式如下:

    (1)数列-1,1,-1,1,…的通项公式是$a_{n}=(-1)^{n}$;

    (2)数列1,2,3,4,…的通项公式是$a_{n}=n$;

    (3)数列1,3,5,7,…的通项公式是$a_{n}=2 n-1$;

    (4)数列2,4,6,8,…的通项公式是$a_{n}=2 n$;

    (5)数列1,2,4,8,…的通项公式是$a_{n}=2^{n-1}$;

    (6)数列1,4,9,16,…的通项公式是$a_{n}=n^{2}$;

    (7)数列$\frac{1}{1}, \frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \frac{1}{4}, \cdots$的通项公式是$a_{n}=\frac{1}{n}$; 

    (8)数列1,3,6,10,…的通项公式是$a_{n}=\frac{n(n+1)}{2}$.

    【变式训练2】 先填空,再写出数列的一个通项公式:

    $\begin{array}{ll}{(1) 1, \sqrt{2},( } & {), 2, \sqrt{5},( } & {), \sqrt{7}, \cdots} \\ {(2) 2,1,( } & {), \frac{1}{2}, \cdots} \\ {(3) \frac{3}{2}, \frac{9}{4},( } & {), \frac{65}{16}, \cdots}\end{array}$

  • 判断数列的增减性

    【例3】 已知函数$f(x)=x-\frac{1}{x}$.数列$\left\{a_{n}\right\}$满足$f\left(a_{n}\right)=-2 n$,且$a_{n}>0$.

    (1)求数列$\left\{a_{n}\right\}$的通项公式;

    (2)判断数列$\left\{a_{n}\right\}$的增减性.

    分析:先根据已知条件解方程求$a_{n}$,然后利用作差或作商法判断数列$\left\{a_{n}\right\}$的增减性.

    反思

    数列$\left\{a_{n}\right\}$增减性的判定方法:

    (1)作差比较法

    ①若$a_{n+1}-a_{n}>0$恒成立,则数列$\left\{a_{n}\right\}$是递增数列;

    ②若$a_{n+1}-a_{n} < 0$恒成立,则数列$\left\{a_{n}\right\}$是递减数列;

    ③若$a_{n+1}-a_{n}=0$恒成立,则数列$\left\{a_{n}\right\}$是常数列.

    (2)作商比较法

     

    $\frac{a_{n+1}}{a_{n}}>1$

    $0<\frac{a_{n+1}}{a_{n}} < 1$

    $\frac{a_{n+1}}{a_{n}}=1$

    $a_{n}>0$

    递增数列

    递减数列

    常数列

    $a_{n} < 0$

    递减数列

    递增数列

    常数列

    【变式训练3】 已知数列$\left\{a_{n}\right\}$的通项公式为$a_{n}=\frac{n^{2}}{n^{2}+1}$,求证:数列$\left\{a_{n}\right\}$为递增数列.

  • 数列与函数的联系

    【例4】 设函数$f(x)=\log _{2} x-\log _{x} 4(0 < x < 1)$,数列$\left\{a_{n}\right\}$的通项$a_{n}$满足$f\left(2^{a_{n}}\right)=2 n\left(n \in \mathbf{N}_{+}\right)$.

    (1)求数列$\left\{a_{n}\right\}$的通项公式.

    (2)数列$\left\{a_{n}\right\}$中有没有最小的项?若有最小项,试求出此项和相应的项数;若没有最小项,请说明理由.

    分析:第(1)问可用代入法求得$a_{n}$的关系式,再通过解方程求得$a_{n}$.第(2)问可利用函数的单调性来判断.

    反思本题(1)可运用方程思想求解,(2)可运用函数思想求解,数列实质上是定义在正整数集(或它的有限子集$\{1,2,3, \cdots, n\} )$上的函数,判断数列随$n$增大而变化的规律的方法与判断函数的单调性相同.

    【变式训练4】 数列$\left\{a_{n}\right\}$的通项公式为$a_{n}=n^{2}-5 n+4\left(n \in \mathbf{N}_{+}\right)$,问:

    (1)数列中有多少项为负数?

    (2)$n$为何值时,$a_{n}$有最小值?并求出最小值.

  • 易错辨析

    易错点:忽视数列与函数的定义域区别而致误

    【例5】 已知在数列$\left\{a_{n}\right\}$中,$a_{n}=n^{2}-k n\left(n \in \mathbf{N}_{+}\right)$,且$\left\{a_{n}\right\}$单调递增,则$k$的取值范围是(  )

    $\begin{array}{ll}{\mathrm{A} \cdot(-\infty, 2]} & {\mathrm{B} \cdot(-\infty, 3)} \\ {\mathrm{C} \cdot(-\infty, 2)} & {\mathrm{D} \cdot(-\infty, 3]}\end{array}$

  • 真题

    1.在数列$1,1,2,3,5,8,13, x, 34, \cdots$中,$x$的值是(  )

    A.19  B.20

    C.21  D.22

    2.已知数列$\left\{a_{n}\right\}$的通项公式是$a_{n}=-n^{2}+7 n+9$,则其第3项、第4项分别是(  )

    A.21,23  B.21,25

    C.21,21  D.以上选项都不对

    3.以下四个数中,哪个数是数列$\{n(n+1)\}$中的一项(  )

    A.380  B.39

    C.32  D.23

    4.已知数列$\left\{a_{n}\right\}$的通项公式为$a_{n}=\frac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}$,则$\sqrt{10}-3$是这个数列的第________项. 

    5.写出下列数列的一个通项公式: 

    $(1) \frac{1}{2}, 2, \frac{9}{2}, 8, \frac{25}{2}, \cdots$

    (2) $9,99,999,9999, \cdots ;$

    (3) $\frac{2^{2}-1}{1}, \frac{3^{2}-2}{3}, \frac{4^{2}-3}{5}, \frac{5^{2}-4}{7}, \cdots$

    (4) $2,-\frac{4}{5}, \frac{1}{2},-\frac{4}{11}, \frac{2}{7},-\frac{4}{17}, \cdots$

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