“且”与“或”

时间:2019-9-9 19:05:04   作者:数学名师王老师
1.了解“且”与“或”的含义.
2.能判断由“且”与“或”组成的新命题的真假.
知识点
  • 1.“且”的含义及由“且”构成的新命题

    (1)“且”的含义:逻辑联结词“且”与自然语言中的“并且”“及”“和”相当.

    (2)由“且”构成的新命题:一般地,用联结词“且”把命题$p$和$q$联结起来,就得到一个新命题,记作:$p \wedge q$,读作“$p$且$q$”.

    (3)“$p$且$q$”的真假:当$p, q$都是真命题时,命题$p \wedge q$是真的;当$p, q$中至少有一个是假命题时,则命题$p \wedge q$是假的.

    注:在数理逻辑的书中,通常把如何判定$p \wedge q$真假的几种情况总结如下表:

    $p$

    $q$

    $p \wedge q$

    【做一做1】 用“且”联结命题$p,q$构成新命题,并判断新命题的真假:

    归纳总结判断“或”命题的真假时,首先判断所给两个命题的真假,再利用“或”命题的真值表进行判定.

    $p:16$是2的倍数;$q:16$是8的倍数.

    分析:由“且”命题的定义写出新命题:16是2的倍数且是8的倍数.因命题$p,q$都是真命题,故新命题是真命题.

    解:$p \wedge q$:16是2的倍数且是8的倍数,新命题是真命题.

    归纳总结    
           判断“且”命题的真假时,首先判断所给两个命题的真假,再利用“且”命题的真值表进行判定.

  • 2.“或”的含义及由“或”构成的新命题

    (1)“或”的含义:逻辑联结词“或”的意义和日常语言中的“或者”是相当的.

    (2)由“或”构成的命题:一般地,用联结词“或”把命题$p,q$联结起来,就得到一个新命题,记作:$p \vee q$,读作“$p$或$q$”.

    (3)“$p$或$q$”的真假:当两个命题$p,q$中,至少有一个是真命题时,$p \vee q$就为真命题;只有当两个命题都为假时,$p \vee q$为假.

    注:在数理逻辑的书中,通常把如何判定$p \vee q$真假的几种情况总结如下表:

    $p$

    $q$

    $p \vee q$

    【做一做2】 用“或”联结命题$p,q$构成新命题,并判断新命题的真假:

    $p:$菱形的对角线互相平分;$q:$菱形的对角线相等.

    分析:由“或”命题的定义写出新命题:菱形的对角线相等或互相平分.因命题$p$是真命题,$q$是假命题,故新命题是真命题.

    解:$p \vee q$:菱形的对角线相等或互相平分,新命题是真命题.

重难点
  • 1.如何理解联结词“且”?

    剖析:“且”与集合中“交集”的概念有关,与$A \cap B=\{x | x \in A$,且$x \in B \}$中的“且”意义相同,即“$x \in A$”与“$x \in B$”这两个条件都要满足.例如,电子保险门在“钥匙插入”且“密码正确”两个条件都满足时,才会开启,相应的电路就叫与门电路.

  • 2.如何理解联结词“或”?

    剖析:“或”与集合中“并集”的概念有关,与$A \cup B=\{x | x \in A$或$x \in B \}$中的“或”意义相同,它是指“$x \in A$”与“$x \in B$”中至少有一个是成立的,既可以是$x \in A$,且blob.png,也可以是x∈B,且blob.png,也可以是$x \in A$,且$x \in B$.这与生活中“或”的含义不完全相同,例如:“你去图书馆或去游泳馆”,两者不可能同时发生,再如,日常生活中,我们认为“苹果是长在树上或长在地里”这句话是不正确的.

    名师点拨

    “且”与“或”只有用来联结两个命题时,才称其为逻辑联结词.如,命题“方程$|x|=1$的解是$x=1$或$x=-1$”中的“或”就不是逻辑联结词.

例题解析
  • “$p \wedge q$”形式的命题及其真假的判定

    【例1】 分别写出由下列各组命题构成的“$p \wedge q$”形式的新命题,并判断它们的真假:

    $(1) p : 30$是5的倍数;$q : 30$是8的倍数.

    $(2) p :$矩形的对角线互相平分;$q:$矩形的对角线相等.

    $(3) p : x=1$是方程$x-1=0$的根;$q : x=1$是方程$x+1=0$的根.

    分析:用逻辑联结词“且”把命题$p, q$联结起来构成“$p \wedge q$”形式的命题;利用命题“$p \wedge q$”的真值表判断其真假.

    反思

    (1)写“且”命题时,若两个命题有公共的主语,后一个命题可省略主语.

    (2)判断“且”命题真假的方法和步骤:①先判断每一个命题的真假;②利用真值表判断“且”命题的真假.

  • “$p \vee q$”形式的命题及其真假的判定

    【例2】 分别写出由下列各组命题构成的“$p \vee q$”形式的命题,并判断它们的真假:

    $(1)p:$正多边形各边相等;$q:$正多边形各内角相等.

    $(2)p:$线段中垂线上的点到线段两个端点的距离相等;$q:$角平分线上的点到角的两边的距离不相等.

    $(3)p:$正六边形的对角线都相等;$q:$偶数都是4的倍数.

    分析:用逻辑联结词“或”把命题$p,q$联结起来构成“$p \vee q$”形式的命题;利用命题“$p \vee q$”的真值表判断其真假.

    反思    
           (1)写“或”命题时,若两个命题有公共的主语,后一个命题可省略主语.

    (2)判断“或”命题真假的步骤:①判断每一个命题的真假;②利用真值表判断“或”命题的真假.

  • 易错题型

    【例3】 (1)命题“等腰三角形顶角的平分线垂直平分底边”是由“或”或“且”构成的新命题吗?若是,指出是哪种形式;若不是,说明理由.

    (2)命题“不等式$x^{2}>1$的解集是$\{x | x>1$或$x<-1 \}$”的构成形式是“$p \vee q$”吗?为什么?

  • 真题

    1.下列命题的构成是“$p \vee q$”形式的是(  )

    A.5既是奇数又是质数

    B.$6 \leqslant 7$

    C.$\pi$不是有理数

    D.2是4的约数并且是7的约数

    2.下列命题的构成不是“$p \wedge q$”形式的是(  )

    A.$x+1$既是$x^{2}-1$的因式,也是$x^{3}+1$的因式

    B.方程$x^{2}=1$的一个解是$x=1$,另一个解是$x=-1$

    C.+2和-2是方程$x^{2}-4=0$的根

    D.函数$f(x)=0$既是奇函数又是偶函数

    3.命题“方程$|x|=2$的解是$x=\pm 2$”中,使用逻辑联结词的情况是(  )

    A.使用了逻辑联结词“或”

    B.使用了逻辑联结词“且”

    C.使用了逻辑联结词“或”与“且”

    D.没有使用逻辑联结词

    4.下列命题中既是“$p \wedge q$”形式的命题,又是真命题的是 (  )

    A.15或20是5的倍数

    B.1和2是方程$x^{2}-3 x+2=0$的根

    C.方程$x^{2}+2=0$有实数根

    D.有一个角大于$90^{\circ}$的三角形是钝角三角形

    5.命题“集合$A$是集合$A \cup B$的子集或是集合$A \cap B$的子集”是_________命题.(填“真”或“假”) 

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