合情推理

时间:2019-9-9 19:05:04   作者:数学名师王老师
1.结合已学过的数学实例和生活中的实例了解合情推理的含义.
2.能利用归纳推理和类比推理进行一些简单的推理,认识合情推理在数学发现中的作用.
知识点
  • 1.合情推理

    前提为真时,结论可能为真的推理,叫做合情推理.归纳推理和类比推理是数学中常用的合情推理.

    名师点拨(1)合情推理的根据是已有的事实和正确的结论(包括定义、定理、公理等)、实验和实践的结果,以及个人的经验等.

    (2)合情推理的结论具有或然性,既可能为真,也可能为假.

    (3)合情推理不能作为数学证明的工具,但它能为我们提供证明的思路方向,对于数学的创新和发现十分有用.

    【做一做1】 下列说法正确的是(  )

    A.由合情推理推出的结论一定是正确的

    B.合情推理必须有前提有结论

    C.合情推理不能猜想

    D.合情推理得出的结论无法判断正误

    解析:由合情推理的概念可知选项B正确.

    答案:B

  • 2.归纳推理

    (1)概念

    根据一类事物的部分对象具有某种性质,推出这类事物的所有对象都具有这种性质的推理,叫做归纳推理(简称归纳).归纳是从特殊到一般的过程.

    (2)归纳推理的一般步骤:

    ①通过观察个别情况发现某些相同性质;

    ②从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题(猜想).

    (3)归纳推理的几个特点:

    ①归纳是依据特殊现象推断一般现象,因而,由归纳所得的结论超越了前提所包括的范围.

    ②归纳是依据若干已知的现象推断尚属未知的现象,因而结论具有猜测性.

    ③归纳的前提是特殊的情况,因而归纳是立足于观察、经验、实验和对有限资料分析的基础上,提出带有规律性的结论.

    名师点拨运用归纳推理得出结论时要注意以下两点:

    (1)一般地,如果归纳的个别情况越多,越具有代表性,那么推广的一般性命题越可靠;

    (2)通过大量的实例去分析,才能归纳出比较可靠的一般性结论(命题).

    【做一做2-1】 数列$2,5,11,20, x, 47, \ldots$中的$x$等于 (  )

    A.28  B.32  C.33  D.27

    解析:$\because 5=2+3 \times 1,11=5+3 \times 2, \\ 20=11+3 \times 3$

    $\therefore x=20+3 \times 4=32$.

    答案:B

    【做一做2-2】 观察:$1=1^{2}, 2+3+4=3^{2}, \\ 3+4+5+6+7=5^{2}, \\ 4+5+6+7+8+9+10=7^{2}, \ldots$
    ,可得到一般规律为________. 

    解析:第一个式子,左边1个数是1,右边结果是12;

    第二个式子,左边3个数相加,从2开始,右边结果是32;

    第三个式子,左边5个数相加,从3开始,右边结果是52;

    第四个式子,左边7个数相加,从4开始,右边结果是72;

    ……

    第n个式子,左边$(2 n-1)$个数相加,从n开始,右边结果是$(2 n-1)^{2}$.

    总结结论:$n+(n+1)+(n+2)+\cdots+[n+(2 n-2)]$

    $=(2 n-1)^{2}\left(n \in \mathbf{N}_{+}\right)$

    即$n+(n+1)+(n+2)+\cdots+(3 n-2) \\ =(2 n-1)^{2}\left(n \in \mathbf{N}_{+}\right)$.

    答案:$n+(n+1)+(n+2)+\ldots+(3 n-2) \\ =(2 n-1)^{2}\left(n \in \mathbf{N}_{+}\right)$

  • 3.类比推理

    (1)概念:

    根据两类不同事物之间具有某些类似(或一致)性,推测其中一类事物具有与另一类事物类似(或相同)的性质的推理,叫做类比推理(简称类比).

    (2)类比推理的一般步骤:

    ①找出两类事物之间的相似性或一致性;

    ②用一类事物的性质去推测另一类事物的性质,得出一个明确的命题(猜想).

    知识拓展    
           (1)类比推理的特点:①类比是从人们已经掌握了的事物的属性,推测正在研究中的事物的属性,以旧认识为基础,类比出新结果;②类比是从一类事物的特殊属性推测另一类事物的特殊属性;③类比的结果有猜测性,不一定正确.

    (2)提高类比所得结论的可靠性,应尽量满足下列条件:

    ①类比对象的共同属性或相似属性尽可能多些;

    ②这些共同属性或相似属性应是类比对象的主要属性;

    ③这些共同(或相似)属性应包括类比对象的各个不同方面,并且尽可能是多方面的;

    ④需推测的未知属性应该和共同(或相似)属性属于同一类型.

    【做一做3-1】 下列说法正确的是(  )

    A.类比推理一定是一般到一般的推理

    B.类比推理一定是个别到个别的推理

    C.类比推理是从个别到个别或一般到一般的推理

    D.类比推理是个别到一般的推理

    答案:B

    【做一做3-2】 若数列$\left\{a_{n}\right\}\left(n \in \mathbf{N}_{+}\right)$是等差数列,则数列$b_{n}=\frac{a_{1}+a_{2}+a_{3}+\cdots+a_{n}}{n}\left(n \in \mathbf{N}_{+}\right)$也是等差数列.

    类比上述性质,相应地:

    若数列$\left\{c_{n}\right\}\left(n \in \mathbf{N}_{+}\right)$是等比数列,且$c_{n}>0$,则数列$d_{n}=$________$\left(n \in \mathbf{N}_{+}\right)$也是等比数列. 

    解析:在运用类比推理时,首先要找出两类对象之间可以确切表述的相似性(或一致性),然后再用一类对象的性质去推测另一类对象的性质.找出等差数列与等比数列在运算上的相似性,等差$\leftrightarrow$等比,求和$\leftrightarrow$求积,除法$\leftrightarrow$开方,可猜想:$d_{n}=\sqrt[n]{\mathrm{c}_{1} \cdot \mathrm{c}_{2} \cdot \mathrm{c}_{3} \cdots \cdots \mathrm{c}_{\mathrm{n}}}$

    答案:$\sqrt[n]{c_{1} \cdot c_{2} \cdot c_{3} \cdots \cdots c_{n}}$                                              

重难点
  • 1.归纳推理的一般步骤是什么?

    剖析:(1)实验、观察:通过观察个别事物发现某些相同的性质.

    (2)概括、推广:从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题,并且在一般情况下,如果归纳的个别情况越多,越具有代表性,那么推广的一般性结论也就越可靠.

    (3)猜测一般性结论:通过实例去分析、归纳问题的一般性命题.

  • 2.类比推理的一般步骤是什么?

    剖析:(1)找出两类事物之间的相似性或一致性.

    (2)用一类事物的性质去推测另一类事物的性质,得出一个明确的命题(或猜想).一般情况下,类比的两类事物的相似性越多,相似的性质与推测的性质之间越相关,那么类比得出的结论就越可靠.类比推理的结论具有或然性,既可能真,也可能假,它是一种由特殊到特殊的认识过程,具有十分重要的实用价值,是一种合情推理.

例题解析
  • 归纳推理

    【例题1】 根据所给数列$\left\{a_{n}\right\}$前5项的值$\frac{2}{3}, \frac{4}{15}, \frac{6}{35}, \frac{8}{63}, \frac{10}{99}$猜想数列$\left\{a_{n}\right\}$的通项公式.

    分析:根据数列中前几项的值求出数列的一个通项公式,主要是对数列各项的特征进行认真观察,结合常见数列的通项公式,对已知项进行分解、组合,从而发现其中的规律,猜想出通项公式.

    反思

    归纳推理是获得数学结论的一条重要途径,通过观察、实验,从特例中归纳出一般结论,形成猜想.

  • 类比推理

    【例题2】 如图,已知$O$是$\triangle A B C$内任意一点,连接$A O, B O, C O$,并延长分别交对边于点$A^{\prime}, B^{\prime}, C^{\prime}$,则$\frac{O A^{\prime}}{A A^{\prime}}+\frac{O B^{\prime}}{B B^{\prime}}+\frac{O C^{\prime}}{C C^{\prime}}=1$

    blob.png

    这是平面几何中的一道题,其证明常采用“面积法”.

    $\frac{O A^{\prime}}{A A^{\prime}}+\frac{O B^{\prime}}{B B^{\prime}}+\frac{O C^{\prime}}{C C^{\prime}} \\  =\frac{S_{\Delta O B C}}{S_{\Delta A B C}}+\frac{S_{\Delta O B C}}{S_{\Delta A B C}}+\frac{S_{\Delta O A B}}{S_{\Delta A B C}}=\frac{S_{\Delta A B C}}{S_{\Delta A B C}}=1$

    请运用类比思想,对于空间中的四面体$V-B C D$,存在什么类似的结论?并用体积法证明.


    分析:考虑到用“面积法”证明结论时把点$O$与三角形的三个顶点分别连接起来,把原三角形分成三个三角形,利用面积相等来证明相应的结论.在证明四面体中类似的结论时,可考虑利用体积相等的方法证明相应的结论.

    反思

    平面几何中的有关定义、定理、性质、公式可以类比到空间中,在学习中要注意通过类比去发现探索新问题.

  • 推理的综合应用

    【例题3】 有一个雪花曲线序列,如图:

    blob.png

    其产生规则是:将正三角形$P_{0}$的每一边三等分,并以中间的那一条线段为一底边向外作等边三角形,再擦去中间的那条线段,便得到第1条雪花曲线$P_{1}$;再将$P_{1}$的每条边三等分,按照上述规则,便得到第2条雪花曲线$P_{2}$;……;把$P_{n-1}$的每条边三等分,按照上述规则,便得到第n条雪花曲线$P_{n}(n=1,2,3,4, \ldots)$.

    (1)设$P_{0}$的周长为$L_{0}$,求$P_{n}$的周长;(2)设$P_{0}$的面积为$S_{0}$,求$P_{n}$的面积.

    反思

    合情推理是根据已有的事实和正确的结论(包括定义、公理、定理等)、实验和实践的结果,以及个人的经验和直觉等推测某些结果的推理过程,归纳、类比是合情推理常用的思维方法.在解决问题的过程中,合情推理具有猜测和发现结论、探索和提供思路的作用,有利于创新意识的培养.

  • 易错辨析

    易错点:在进行类比推理时,由于类比的相似性少或被一些表面现象所迷惑从而导致类比结论的错误.解决此类问题的关键是先充分认识两个系统的相同(或相似)之处,充分考虑其中的本质联系,再进行类比.

    【例题4】 请用类比推理完成下表:

    三角形的面积等于任意一边的长度与该边上高的乘积$\frac{1}{2}$

    三棱锥的体积等于任一底面的面积与该底面上高的乘积$\frac{1}{3}$

    三角形的面积等于其内切圆半径与三角形周长乘积$\frac{1}{2}$

     

    反思

    进行类比推理时,需根据当前问题的需要,选择适当的类比对象,我们可以从不同的角度出发确定类比对象,如围成几何体的几何元素的数目、位置关系等. 

  • 真题

    1.使$\left|n^{2}-5 n+5\right|=1$不成立的最小正整数是(  )

    A.1  B.2  C.4  D.5

    2.下列类比推理恰当的是(  )

    A.把$a(b+c)$与$\log _{a}(x+y)$)类比,则有$\log _{a}(x+y)=\log _{a} x+\log _{a} y$

    B.把$a(b+c)$与$\sin (x+y)$类比,则有$\sin (x+y)=\sin x+\sin y$

    C.把$(a b)^{n}$与$(a+b)^{n}$类比,则有$(a+b)^{n}=a^{n}+b^{n}$

    D.把$a(b+c)$与a?(b+c)类比,则有$\mathbf{a} \cdot(\mathbf{b}+\mathbf{c})=\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}+\mathbf{a} \cdot \mathbf{c}$

    3.给出下列不等式$: 1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}>1,1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\cdots+\frac{1}{7}>\frac{3}{2}, \\  1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\cdots+\frac{1}{15}>2,1+$

    $\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\cdots+\frac{1}{31}>\frac{5}{2}, \ldots$

    ,则按此规律可猜想第n个不等式为_________. 

    4.如图,在三棱锥$S-A B C$中,$S A \perp S B, S B \perp S C, S C \perp S A$,且$S A, S B, S C$和底面$A B C$所成的角分别为$ \alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}$,三侧面$\triangle S B C, \triangle S A C, \triangle S A B$的面积分别为$S_{1}, S_{2}, S_{3}$,类比三角形中的正弦定理,给出空间情形的一个猜想_________. 

    blob.png

    5.设 $f(x)=\frac{1}{2^{x}+\sqrt{2}^{\prime}}$利用课本中推导等差数列前$n$项和公式的方法,可求得$f(-5)+f(-4)+\ldots+f(0) \\ +\ldots+f(5)+f(6)$
    的值为_________. 

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