空间向量的直角坐标运算

时间:2019-9-9 19:05:04   作者:数学名师王老师
1.了解空间向量坐标的定义.
2.掌握空间向量的坐标运算.
3.会利用向量的坐标关系,判定两个向量共线或垂直.
4.会计算向量的长度及两向量的夹角.
知识点
  • 1.空间向量的坐标表示

    (1)单位正交基底.

    建立空间直角坐标系$O x y z$,分别沿x轴,y轴,z轴的正方向引单位向量$\mathbf{I}, \mathbf{j}, \mathbf{k}$,这三个互相垂直的单位向量构成空间向量的一个基底$\{\mathbf{i}, \mathbf{j}, \mathbf{k}\}$,这个基底叫做单位正交基底.

    单位向量$\mathbf{I}, \mathbf{j}, \mathbf{k}$都叫做坐标向量.

    【做一做1-1】 设$\left\{\mathbf{e}_{1}, \mathbf{e}_{2}, \mathbf{e}_{3}\right\}$是空间向量的一个单位正交基底,则$\left|\mathbf{e}_{1}\right|+\left|\mathbf{e}_{2}\right|+\left|\mathbf{e}_{3}\right|=$_________. 

    答案:3

    (2)空间向量的坐标表示.

    在空间直角坐标系中,已知任一向量$\mathbf{a}$,根据空间向量分解定理,存在唯一实数组$\left(a_{1}, a_{2}, a_{3}\right)$,使$\mathbf{a}=a_{1} \mathbf{i}+a_{2} \mathbf{j}+a_{3} \mathbf{k}, a_{1} \mathbf{i}, a_{2} \mathbf{j}, a_{3} \mathbf{k}$分别为向量$\mathbf{a}$在$\mathbf{I}, \mathbf{j}, \mathbf{k}$方向上的分向量,有序实数组$\left(a_{1}, a_{2}, a_{3}\right)$叫做向量$\mathbf{a}$在此直角坐标系中的坐标.上式可简记作$\mathbf{a}=\left(a_{1}, a_{2}, a_{3}\right)$.

    【做一做1-2】 向量0的坐标为_________.  

    答案:(0,0,0)

    名师点拨向量的坐标与点的坐标表示方法不同,如

    向量$\mathbf{a}=(x, y, z)$,点$A(x, y, z)$.

  • 2.空间向量的直角坐标运算

    (1)设$\mathbf{a}=\left(a_{1}, a_{2}, a_{3}\right), \mathbf{b}=\left(b_{1}, b_{2}, b_{3}\right)$,则容易得到

    $\mathbf{a}+\mathbf{b}=\left(a_{1}+b_{1}, a_{2}+b_{2}, a_{3}+b_{3}\right)$;

    $\mathbf{a}-\mathbf{b}=\left(a_{1}-b_{1}, a_{2}-b_{2}, a_{3}-b_{3}\right)$

    $\lambda \mathbf{a}=\left(\lambda a_{1}, \lambda a_{2}, \lambda a_{3}\right)$

    $\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}=a_{1} b_{1}+a_{2} b_{2}+a_{3} b_{3}$.

    (2)向量在空间直角坐标系中的坐标的求法:设$A\left(x_{1}, y_{1}, z_{1}\right), B\left(x_{2}, y_{2}, z_{2}\right)$,

    $\overrightarrow{A B}=\overrightarrow{O B}-\overrightarrow{O A}=(x 2, y 2, z 2)-(x 1, y 1, z 1)$

    $=(x 2-x 1, y 2-y 1, z 2-z 1)$

    【做一做2】 设$\mathbf{a}=(1,2,3), \mathbf{b}=(1,1,1)$,则$2 \mathbf{a}+\mathbf{b}=$_________. 

    答案:$(3,5,7)$

  • 3.空间向量平行和垂直的条件

    设$\mathbf{a}=\left(a_{1}, a_{2}, a_{3}\right), \mathbf{b}=\left(b_{1}, b_{2}, b_{3}\right)$,则

    $(1) \mathbf{a} / / \mathbf{b}(\mathbf{b} \neq \mathbf{0}) \Leftrightarrow \mathbf{a}=\lambda \mathbf{b} \Leftrightarrow a_{1}=\lambda b_{1}, \\ a_{2}=\lambda b_{2}, a_{3}=\lambda b_{3}$

    当$b_{1}, b_{2}, b_{3}$都不为0时,$\mathbf{a} / / \mathbf{b} \Leftrightarrow \frac{a_{1}}{b_{1}}=\frac{a_{2}}{b_{2}}=\frac{a_{3}}{b_{3}}$;

    $(2) \mathbf{a} \perp \mathbf{b} \Leftrightarrow \mathbf{a} \cdot \mathbf{b}=0 \Leftrightarrow a_{1} b_{1}+a_{2} b_{2}+a_{3} b_{3}=0$.

    【做一做3】 设$\mathbf{a}=(1,2,3), \mathbf{b}=(1,-1, x)$,若$\mathbf{a} \perp \mathbf{b}$,则$x=$_________. 

    答案:$\frac{1}{3}$

  • 4.两个向量夹角与向量长度的坐标计算公式

    设$\mathbf{a}=\left(a_{1}, a_{2}, a_{3}\right), \mathbf{b}=\left(b_{1}, b_{2}, b_{3}\right)$,则

    $|\mathbf{a}|=\sqrt{a \cdot a}=\sqrt{a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+a_{3}^{2}}$

    $|\mathbf{b}|=\sqrt{b \cdot b}=\sqrt{b_{1}^{2}+b_{2}^{2}+b_{3}^{2}}$

    $\cos <\mathbf{a},>=\frac{a \cdot b}{|a| b |}=\frac{a_{1} b_{1}+a_{2} b_{2}+a_{3} b_{3}}{\sqrt{a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+a_{3}^{2}} \sqrt{b_{1}^{2}+b_{2}^{2}+b_{3}^{2}}}$.

    设$A\left(x_{1}, y_{1}, z_{1}\right), B\left(x_{2}, y_{2}, z_{2}\right)$,则$|\overrightarrow{A B}|=\sqrt{\left(x_{2}-x_{1}\right)^{2}+\left(y_{2}-y_{1}\right)^{2}+\left(z_{2}-z_{1}\right)^{2}}$

    【做一做4】 向量$\mathbf{a}=(2,-1,-1), \mathbf{b}=(1,-1,0)$的夹角余弦值为________,

    $|a-b|=$_________

    答案:$\frac{\sqrt{3}}{2} \quad \sqrt{2}$

    名师点拨

    1.空间向量的坐标是空间向量的一种形式.在坐标形式下的模长公式、夹角公式、向量平行和垂直的条件与在普通基底下相同,仅仅是形式不同;

    2.空间向量在坐标形式下同样可以用来求距离(长度)、夹角、证明垂直和平行关系等.

重难点
  • 如何理解空间向量的坐标及其运算?

    剖析:
    (1)注意空间向量的坐标与向量终点的坐标的区别与联系.向量的坐标是其终点与起点坐标的差量.只有以原点为起点的向量,向量的坐标才等于向量终点的坐标.

    (2)空间向量的坐标运算和平面向量基本一致,只是多了一个竖坐标.

    (3)坐标形式下向量的计算就是指坐标的运算.

例题解析
  • 空间向量的坐标运算

    【例1】 设向量$\mathbf{a}=(3,5,-4), \mathbf{b}=(2,1,8)$,计算$3 \mathbf{a}-2 \mathbf{b},(\mathbf{a}+\mathbf{b}) \cdot(\mathbf{a}-\mathbf{b})$.

    分析:利用空间向量的坐标运算先求$3a,2b,a+b,a-b$,再进行相关运算.

    反思    
    空间向量的坐标运算首先进行数乘运算,然后再进行加减运算,最后进行数量积运算,先算括号内的后算括号外的.

  • 空间向量的平行与垂直问题

    【例2】 设向量$\mathbf{a}=(1, x, 1-x), \mathbf{b}=\left(1-x^{2},-3 x, x+1\right)$,求满足下列条件时,实数$x$的值.

    $(1) \mathbf{a} / / \mathbf{b} ;(2) \mathbf{a} \perp \mathbf{b}$.

    分析:解答本题可先由$\mathbf{a} / / \mathbf{b}, \mathbf{a} \perp \mathbf{b}$分别建立关于$x$的方程,再解方程即可.

    反思    
    要熟练掌握向量平行和垂直的条件,借助此条件可将立体几何中的平行垂直问题转化为向量的坐标运算.在应用坐标形式下的平行条件时,一定注意结论成立的前提条件,在条件不明确时要分类讨论.

  • 空间向量的夹角及长度公式的应用

    【例3】 已知空间三点$A(0,2,3), B(-2,1,6), C(1,-1,5)$,求$\overrightarrow{A B}, \overrightarrow{A C}$

    分析:已知三点A,B,C的坐标,先求$\overrightarrow{A B}, \overrightarrow{A C},|\overrightarrow{A B}|,|\overrightarrow{A C}|, \overrightarrow{A B} \cdot \overrightarrow{A C}$,再求$\cos < \overrightarrow{A B}, \overrightarrow{A C} > , \sin < \overrightarrow{A B}, \overrightarrow{A C} > $,从而得到结论.

    反思    
    运用空间向量的坐标运算解决立体几何问题的基本思路:

    (1)建立空间直角坐标系;

    (2)求出相关点的坐标和向量坐标;

    (3)结合公式进行计算;

    (4)将计算的向量结果转化为几何结论.

  • 真题

    1.已知$A(2,-4,-1), B(-1,5,1), C(3,-4,1)$,令$\mathbf{a}=\overrightarrow{C A}, \mathbf{b}=\overrightarrow{C B}$,则$\mathbf{a}+\mathbf{b}$对应的坐标为(  )

    $\begin{array}{ll}{\text { A. }(5,-9,2)} & {\text { B. }(-5,9,-2)} \\ {\text { C. }(5,9,-2)} & {\text { D. }(5,-9,-2)}\end{array}$

    2.下面各组向量不平行的是(  )

    A. $\mathbf{a}=(1,0,0), \mathbf{b}=(-3,0,0)$

    B. $\mathbf{c}=(0,1,0), \mathbf{d}=(1,0,1)$

    C. $\mathbf{e}=(0,1,-1), \mathbf{f}=(0,-1,1)$

    D. $\mathbf{g}=(1,0,0), \mathbf{h}=(0,0,0)$

    3.已知$\mathbf{a}=(1,1, x), \mathbf{b}=(1,2,1), \mathbf{c}=(1,1,1)$,且$(\mathbf{c}-\mathbf{a}) \cdot 2 \mathbf{b}=-2$,则$x$的值为(  )

    $\begin{array}{llll}{\mathrm{A.3}} & {\mathrm{B.4}} & {\mathrm{C.2}} & {\mathrm{D.1}}\end{array}$

    4.已知$A(2,0,1), B(3,4,-2)$,则|$|\overrightarrow{A B}|=$________________. 

    5.已知向量$a=(2,-3, \sqrt{3}), \mathbf{b}=(1,0,0)$,则$\cos <\mathbf{a},b>=$________________.

    6.已知向量$\mathbf{a}=(-2,2,0), \mathbf{b}=(-2,0,2)$,求向量$\mathbf{n}$使$\mathbf{n} \perp \mathbf{a}$,且$\mathbf{n} \perp \mathbf{b}$.

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