曲线与方程

时间:2019-9-9 19:05:04   作者:数学名师王老师
1.了解曲线与方程的对应关系.
2.了解两条曲线交点的求法.
3.了解用坐标法研究几何性质.
4.掌握求曲线的方程和由方程研究曲线的性质. 
知识点
  • 1.点的轨迹方程

    一般地,一条曲线可以看成动点依某种条件运动的轨迹,所以曲线的方程又常称为满足某种条件的点的轨迹方程.

    【做一做1】 到$A(2,-3)$和$B(4,-1)$的距离相等的点的轨迹方程是(  )

    $\begin{array}{ll}{\text { A. } x-y-1=0} & {\text { B. } x-y+1=0} \\ {\text { C. } x+y-1=0} & {\text { D. } x+y+1=0}\end{array}$

    答案:C

  • 2.曲线的方程与方程的曲线的定义

    (1)在平面直角坐标系中,如果曲线C与方程$F(x, y)=0$之间具有如下关系:

    ①曲线C上点的坐标都是方程$F(x, y)=0$的解;

    ②以方程$F(x, y)=0$的解为坐标的点都在曲线C上.

    那么,曲线C叫做方程$F(x, y)=0$的曲线,方程$F(x, y)=0$叫做曲线C的方程.

    名师点拨

    在曲线的方程的定义中,曲线上的点与方程的解之间的关系①和②缺一不可,而且两者是对曲线上的任意一点以及方程的任意一个实数解而言的.从集合的角度来看,设$A$是曲线$C$上的所有点组成的点集,B是所有以方程$F(x, y)=0$的实数解为坐标的点组成的点集,则由关系①可知$A \subseteq B$,由关系②可知$B \subseteq A$;若同时具有关系①和②,就有$A=B$.

    (2)曲线$C$用集合的特征性质描述法,可以描述为$C=\{M(x, y) | F(x, y)=0$.

    3.两曲线的交点

    已知两条曲线$C_{1} : F(x, y)=0$和$C_{2} : G(x, y)=0$,求这两条曲线的交点坐标,只要求方程组$\left\{\begin{array}{l}{F(x, y)=0} \\ {G(x, y)=0}\end{array}\right.$的实数解就可以得到.

    名师点拨

    曲线的交点问题需转化为二元方程组的求解问题,那么,解二元方程组的一切思路方法和相关知识,都是求两曲线交点的基本依据和方法.

    【做一做2】 若曲线$y=x^{2}+1$和$y=x+m$有两个不同的交点,则(  )

    $\mathrm{A} m \in \mathbf{R} \qquad \mathrm{B} \cdot m \in\left(0, \frac{3}{4}\right)$

    $\mathrm{C} . m=\frac{3}{4} \qquad \mathrm{D} \cdot m \in\left(\frac{3}{4},+\infty\right)$

    解析:已知条件可转化为联立后的方程组有两组不同的解,即方程$x^{2}-x+1-m=0$的判别式大于零,即$(-1)^{2}-4(1-m) > 0$,解得$m > \frac{3}{4}$.

    答案:D

重难点
  • 1.对曲线与方程的定义的进一步理解

    剖析:(1)定义中的第①条“曲线$C$上点的坐标都是方程$F(x, y)=0$的解”,阐明曲线上没有坐标不满足方程的点,也就是说曲线上的所有点都符合这个条件并且毫无例外(纯粹性).

    (2)定义中的第②条“以方程$F(x, y)=0$的解为坐标的点都在曲线C上”,阐明符合条件的所有点都在曲线上并且毫无遗漏(完备性).

    (3)定义的实质是平面曲线的点集$\{M | p(M)\}$和方程$F(x, y)=0$的解集$\{(x, y) | F(x, y)=0\}$之间的一一对应关系,由曲线和方程的这一对应关系,既可以通过方程研究曲线的性质,又可以由曲线求它的方程.

  • 2.曲线方程的求法

    剖析:(1)建立适当的平面直角坐标系,用有序实数对$(x, y)$表示曲线上任意一点M的坐标;

    (2)写出适合条件$p$的点$M$的集合$P=\{M | p(M)\}$;

    (3)用坐标表示条件$p(M)$,列出方程$F(x, y)=0$;

    (4)化方程$F(x, y)=0$为最简形式;

    (5)说明以化简后的方程的解为坐标的点都在曲线上.

    一般地,化简前后方程的解集是相同的,步骤(5)可以省略不写,如有特殊情况,可以适当说明.另外,也可以根据情况省略步骤(2),直接列出曲线方程.

例题解析
  • 曲线与方程的概念

    【例1】 若曲线$C$上的点的坐标满足方程$F(x, y)=0$,则下列说法正确的是(  )

    A.曲线$C$的方程是$F(x, y)=0$

    B.方程$F(x, y)=0$的曲线是$C$

    C.坐标不满足方程$F(x, y)=0$的点都不在曲线C上

    反思    
    1.判定曲线与方程的对应关系有两种方法:等价转换和特值讨论.它们使用的依据是曲线的纯粹性和完备性.

    2.处理“曲线与方程”的概念题,可采用直接法,也可采用特值法.

  • 曲线方程的求法

    【例2】 已知$\triangle A B C, A(-2,0), B(0,-2)$,第三个顶点C在曲线$y=3 x^{2}-1$上移动,求$\triangle A B C$的重心$G$的轨迹方程.

    分析:先写出$C$与$G$之间的坐标关系,再用$G$的坐标表示$C$的坐标,然后代入$C$的坐标所满足的关系式中,化简整理即得所求轨迹方程.

    【例3】 长为3的线段$AB$的端点$A,B$分别在$x$轴、$y$轴上移动,动点$C(x, y)$满足$\overrightarrow{A C}=2 \overrightarrow{C B}$,求动点$C$的轨迹方程。

    分析:$A,B$分别在$x$轴、$y$轴上移动,可设$A\left(x_{0}, 0\right), B\left(0, y_{0}\right)$,又动点$C(x,y)$满足$\overrightarrow{A C}=2 \overrightarrow{C B}$代入即可得轨迹方程.

    反思    
           求曲线的方程的关键是找到曲线上动点的运动规律,并利用坐标把这种规律翻译成代数方程.

  • 真题

    1.方程$x^{2}+x y=x$表示的图形是(  )

    A.一个点

    B.一条直线

    C.两条直线

    D.一个点和一条直线

    2.已知方程$2 x^{2}-x y+1=0$表示的曲线为$C$,则下列点不在$C$上的为(  )

    A. $\left(\frac{1}{2}, 3\right)$ B. $(-3,5)$

    C. $\left(-2,-\frac{9}{2}\right) D \cdot\left(2, \frac{9}{2}\right)$

    3.在平面直角坐标系$xOy$中,若定点$A(1,2)$与动点$P(x, y)$满足$\overrightarrow{O P} \cdot \overrightarrow{O A}=4$,则点P的轨迹方程是_______________. 

    4.若点$P(2,-3)$在曲线$x^{2}-a y^{2}=1$上,则$a=$__________. 

    5.已知$k \in \mathbf{R}$,直线$y=\sqrt{3} x+k$与圆$x 2+y 2=16$无公共点,则$k$的取值范围为_________________. 

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