复数的乘法

时间:2019-9-9 19:05:04   作者:数学名师王老师
1.能运用复数的乘法运算法则进行简单的计算.
2.掌握虚数单位“i”的幂的规律进行化简求值.
知识点
  • 复数的乘法

    (1)两个复数的乘法可以按照多项式的乘法运算来进行,只是在遇到$i^{2}$时,要把$i^{2}$换成-1,并把最后的结果写成$a+b i(a, b \in \mathbf{R})$的形式.

    (2)两个共轭复数的乘积等于这个复数(或其共轭复数)模的平方.

    名师点拨

    1.两个复数的积仍为复数.

    2.复数的乘法运算满足:(1)交换律,$z_{1} \cdot z_{2}=z_{2} \cdot z_{1}$;(2)结合律,$\left(z_{1} \cdot z_{2}\right) \cdot z_{3}=z_{1} \cdot\left(z_{2} \cdot z_{3}\right)$;(3)乘法对加法的分配律,$z_{1} \cdot\left(z_{2}+z_{3}\right)=z_{1} \cdot z_{2}+z_{1} \cdot z_{3}$.

    3.对复数$Z_{1}, z_{2}, z$和自然数$m,n$有:$z^{m} \cdot z^{n}=z^{m+n},\left(z^{m}\right)^{n} \\ =z^{m \cdot n},\left(z_{1} \cdot z_{2}\right)^{n}=Z_{1}^{n} \cdot Z_{2}^{n}$

    【做一做1】 计算$(1-i)^{4}$得(  )

    $A.4  B.-4  C.4i  D.-4i$

    解析:$(1-i)^{4}=\left[(1-i)^{2}\right]^{2}=(-2 i)^{2}=-4$.

    答案:B

    【做一做2】$(1-2 i)(3+4 i)(-2+i)$的运算结果是_________. 

    解析:$(1-2 i)(3+4 i)(-2+i) \\ =(11-2 i) \cdot(-2+i)=-20+15$

    答案:$-20+15 i$

重难点
  • 共轭复数有哪些运算性质? 

    剖析:$(1) z \cdot \overline{z}=|z| 2=|\overline{z}| 2$

    $(2) \overline{z^{2}}=(z) 2$

    $(3) \overline{z_{1} \cdot z_{2}}=\overline{z_{1}} \cdot \overline{z_{2}}$

    (4) $\overline{z_{1} \pm z_{2}}=\overline{z_{1}} \pm \overline{z_{2}}$

例题解析
  • 复数乘法运算

    【例题1】 计算:$(2-3 i)(3+2 i)$.

    分析:根据运算法则计算即可.

    反思 复数的乘法与多项式乘法类似,在计算两个复数相乘时,先按多项式的乘法展开,再将i2换成-1,最后合并同类项即可.

  • i的幂的运算

    【例题2】 已知等比数列$z_{1}, z_{2}, z_{3}, \cdots, z_{n}$,其中$z_{1}=1, z_{2}=x+y \mathrm{i}, z_{3}=y+x \mathrm{i}(x, y \in \mathbf{R}$,且$x>0 )$.

    (1)求$x,y$的值;

    (2)试求使$z_{1}+z_{2}+z_{3}+\cdots+z_{n}=0$的最小正整数n;

    (3)对(2)中的正整数$n$,求$z_{1} \cdot z_{2} \cdot z_{3} \cdots \cdots \cdot z_{n}$的值.

    分析:借助等比数列建立等式关系,利用复数相等的充要条件,将复数问题转化成实数问题来求解,进而得到数列通项公式,然后便使问题逐步得以解决. 

    反思 

    1.$i^{n}=\left\{\begin{array}{l}{1, n=4 k, k \in Z} \\ {\text { i, } n=4 k+1, k \in Z} \\ {-1, n=4 k+2, k \in Z} \\ {-i, n=4 k+3, k \in Z}\end{array}\right.$

    $2 \cdot i^{n}+i^{n+1}+i^{n+2}+i^{n+3}=0, n \in \mathbf{Z}$

  • 共轭复数的性质

    【例题3】 若$z, z_{0} \in \mathbf{C}, z \neq z_{0}$,且$|z|=2$,求$\left|\frac{Z-Z_{0}}{4-\overline{Z} z_{0}}\right|$的值

    分析:要用z表示$\frac{z-z_{0}}{4-\overline{z} z_{0}}$ 比较困难,$Z_{0}$没有具体给出,要想求$\left|\frac{z-z_{0}}{4-\overline{z} z_{0}}\right|$的值,必须充分利用$|z|=2$,为此要考虑用$|z|=2$的性质$|z|^{2}=|\overline{z}| 2=z \cdot \overline{Z}$.

    反思 $|z|^{2}=|\overline{z}| 2=z \cdot \overline{z}$ 是在求解复数问题时常用的一个公式.

  • 易错辨析

    易错点:有些同学总认为只要是复数式子就不能比较大小,这种观点是错误的.错误原因是:若两复数经化简后为实数,则能比较大小,因此要注意运算时式子中的隐含条件.

    【例题4】 已知$z_{1}, z_{2} \in \mathbf{C}$,且$z_{1} \cdot z_{2} \neq 0, A=z_{1} \cdot \overline{z_{2}}+\overline{z_{1}} \cdot z_{2}, \\ B=z_{1} \cdot \overline{z_{1}}+z 2 \cdot \overline{z_{2}}$
    ,问$A, B$可否比较大小?并说明理由.

  • 真题

    1.设复数$z_{1}=1+i, z_{2}=x+2 i(x \in \mathbf{R})$,若$z_{1} z_{2} \in \mathbf{R}$,则$x$等于(  )

    $\begin{array}{ll}{A-2} & {B-1} \\ {C .1} & {D .2}\end{array}$

    2.设复数$z=1+\sqrt{2} i$,则$z 2-2 z$等于(  )

    $\begin{array}{ll}{A-3} & {B .3} \\ {C-3 i} & {D .3 i}\end{array}$

    3.设$z \in \mathbf{C}, 2 \mathrm{i} z_{1}=z^{2}-\overline{z^{2}}, z 2=z \cdot \overline{z}$,则复数$Z 1$与$z 2$的关系是(  )

    $\mathrm{A} . z_{1} \leqslant z_{2} \quad \mathrm{B} . z_{1} \geqslant z_{2}$

    $\mathrm{C} z_{1}=z_{2}$ D.不能比较大小

    4.已知复数$z$与$(z+2)^{2}-8 i$均是纯虚数,则z=_________.  

    5.已知复数$z_{1}=\cos \theta-\mathrm{i}, z_{2}=\sin \theta+\mathrm{i}$,则$z_{1} \cdot z_{2}$的实部的最大值为_________.,虚部的最大值为_________.. 

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