平行截割定理

时间:2019-9-9 19:05:05   作者:数学名师王老师
1.掌握平行截割定理及其推论.
2.能利用平行截割定理及其推论解决有关问题.
知识点
  • 1.平行截割定理

    文字

    语言

    三条平行线截任两条直线,所截出的对应线段成比例

    符号

    语言

    $a / / b / / c$,直线m分别与$a, b, c$相交于点$A, B, C$,直线n分别与$a, b, c$相交于点$D,E,F,$则$\frac{A B}{B C}=\frac{D E}{E F}$

    图形

    语言

    blob.png

    作用

    证明分别在两条直线上的线段成比例

    名师点拨

    1.定理的条件是$a,b,c$互相平行,构成一组平行线,$m$与$n$可以平行,也可以相交,但它们必须与已知的平行线$a,b,c$相交,即被平行线$a,b,c$所截.平行线的条数还可以更多.

    2.定理的结论还有$\frac{A B}{A C}=\frac{D E}{D F}, \frac{C B}{C A}=\frac{F E}{F D}$等.可以归纳为 blob.png等,便于记忆.

    3.当截得的对应线段成比例,且比值为1时,截得的线段相等.

    【做一做1】 如图,$a / / b / / c, A B=2, B C=3$,则$\frac{A_{1} B_{1}}{B_{1} C_{1}}$等于(  )

    blob.png

    $\begin{array}{ll}{\mathrm{A} \cdot \frac{3}{2}} & {\mathrm{B} \cdot \frac{2}{3}} \\ {\mathrm{C} \cdot \frac{2}{5}} & {\mathrm{D} \cdot \frac{3}{5}}\end{array}$

    解析:$\because a / / b / / c$,

    $\therefore \frac{A_{1} B_{1}}{Q_{1} C_{1}}=\frac{A B}{B C}=\frac{2}{3}$.

    答案:$B$ 

  • 2.推论

    文字

    语言

    平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线),所得的对应线段成比例

    符号

    语言

    直线$D, E$分别与$\triangle A B C$的两边$AB,AC$所在直线交于点$D$,$E$,且$D E / / B C$,则$\frac{A D}{D B}=\frac{A E}{E C}$

    图形

    语言

    blob.png

    作用

    证明三角形中的线段成比例

    【做一做2-1】 如图,在$\triangle A B C$中,$D E / / B C$,若$A D=3, B D=1$,则$\frac{A E}{A C}$等于(  )

     blob.png

    A.1 B.3 $\quad$ C. $\frac{4}{3} \quad$ D. $\frac{3}{4}$


    解析:$\because D E / / B C$

    $\therefore \frac{A E}{A C}=\frac{A D}{A B}=\frac{A D}{A D+B D}=\frac{3}{3+1}=\frac{3}{4}$

    答案:D 

    【做一做2-2】 如图,$A B / / C D, A C, B D$相交于点$O . B O=7, D O=3, A C=25$,则$A O$的长为(  )

    A. 10$\quad$ B. 12.5

    C.15 D.17.5

    blob.png

    解析:$\because A B / / C D$

    $\therefore \frac{A O}{O C}=\frac{B O}{O D}=\frac{7}{3}$

    $\therefore \frac{A O}{A C}=\frac{7}{10}$

    $\therefore A O=\frac{7}{10} A C=\frac{7}{10} \times 25=17.5$

    答案:D 

重难点
  • 剖析

    (1)线段的比:用同一个长度单位去量两条线段,所得的长度比叫做这两条线段的比.

    (2)比例线段:在四条线段中,如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比,那么这四条线段叫做成比例线段,简称比例线段.

    (3)比例的有关概念:已知四条线段$a,b,c,d,$如果$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$或$a : b=c : d$,那么线段$a,d$叫做比例外项,线段$b,c$叫做比例内项,线段$d$叫做线段$a,b,c$的第四比例项.如果$\frac{a}{b}=\frac{b}{c}$或$b^{2}=a c$,那么线段b叫做线段$a,c$的比例中项.

    (4)比例的性质:①基本性质:$a : b=c : d \Leftrightarrow a d=b c$.

    ②合比性质:如果$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$,那么$\frac{a+b}{b}=\frac{c+d}{d}$.

    ③等比性质:如果$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}=\dots=\frac{m}{n}(b+d+\cdots+n \neq 0)$,那么$\frac{a+c+\cdots+m}{b+d+\cdots+n}=\frac{a}{b}$.

    (5)线段的比与比例线段是既有区别又有联系的两个概念.线段的比是对两条线段而言的,而比例线段是对四条线段而言的.线段的比有顺序性,$a : b$与$b : a$通常是不相等的;比例线段也有顺序性,如线段$a,b,c,d$成比例,与线段$a,c,b,d$成比例不同.

例题解析
  • 题型一 证明线段成比例

    【例1】 如图,$AD$为$\Delta A B C$的中线,在$AB$上取点$E,AC$上取点$F$,使$A E=A F$.求证:$\frac{E P}{F P}=\frac{A C}{A B}$.

    blob.png

    分析在这道题目中所证的比例组合没有直接的联系,可以考虑把比例转移,过点C作$C M / / E F$,交$AB$于点$M$,交$AD$于点$N$,且$BC$的中点为$D$,可以考虑补出一个平行四边形来求解.

    反思
    1.比例线段常由平行线产生,因而研究比例线段问题应注意平行线的应用,在没有平行线时,可以添加平行线来促成比例线段的产生.

    2.利用平行线来转移比例是常用的证题技巧,当题中没有平行线而有必要转移比例时,也常添加辅助平行线,从而达到转移比例的目的.

  • 题型二 证明线段相等

    【例2】 如图,在$\triangle A B C$中,$E$为中线$AD$上的一点,$\frac{D E}{A E}=\frac{1}{2}$,连接$BE$并延长,交$AC$于点$F$.求证:$AF=CF$.

    blob.png

    分析切入点是条件是$\frac{D E}{A E}=\frac{1}{2}$,通过作平行线,证明$\frac{x}{A F}=\frac{x}{F C}$,其中$x$是某条线段.

  • 题型三 证明线段倒数和的等式

    【例3】 如图,$A B \perp B D$于点$B, C D \perp B D$于点D,连接$A D, B C$交于点$E, E F \perp B D$于点F.求证:$\frac{1}{A B}+\frac{1}{C D}=\frac{1}{E F}$.

    blob.png


    分析转化为证明$\frac{E F}{A B}+\frac{E F}{C D}=1$.由$A B / / E F / / C D$D,将$\frac{E F}{A B}$与 $\frac{E F}{C D}$化归为同一直线$B D$上的线段比就可证得.

    反思

    证明有关线段倒数和的等式时,常用的方法是先将其变形为线段比的和为定值的形式,再化归为同一直线上的线段比.

  • 题型四 计算线段长度的比值

    【例4】 如图,$M$是$\square A B C D$的边$AB$的中点,直线l过$M$分别交$A D, A C$于点$E, F$,交$CB$的延长线于点$N$,若$AE=2,AD=6$,求$A F : A C$的值.

    blob.png

    分析$A D / / B C, A M=M B \Rightarrow  \\ A E=B N \Rightarrow A F : A C$
    的值

    反思

    运用平行截割定理及其推论来计算比值,应分清相关三角形中的平行线段及所截的边,并注意在求解过程中运用比例的等比性质、合比性质等.

  • 真题

    1.如图,在四边形$A B C D$中,$E F / / B C, F G / / A D$,则$\frac{E F}{B C}+\frac{F G}{A D}=$_________. 

    blob.png

    2.在梯形$A B C D$中,$A D / / B C, A D=2, B C=5$,点$E, F$分别在$A B, C D$上,且$E F / / A D$,若$\frac{A E}{E B}=\frac{3}{4}$,则$E F$的长为_________.

    3.如图,在梯形$A B C D$中,$A B / / D C$,一条直线平行于两底,且顺次交$A D, B D, A C, B C$于点$E, F, G, H$.

    求证:$E F=G H$.

    分析转化为证明$\frac{E F}{A B}=\frac{G H}{A B}$

    blob.png 

    4.如图,已知直线$FD$和$\triangle A B C$的$BC$边交于点$D$,与$AC$边交于点$E$,与$BA$的延长线交于点$F$,且$BD=DC$,求证:$A E \cdot F B=E C \cdot F A$.

    分析本题只需证$\frac{A E}{E C}=\frac{F A}{F B}$即可.由于$\frac{A E}{E C}$与$\frac{F A}{F B}$没有直接关系,必须寻找过渡比将它们联系起来,因此考虑添加平行线构造过渡比.

    5.如图,在梯形$ABCD$中,$A D / / B C, E F$经过梯形对角线的交点$O$,且$E F / / A D$.

    求证$:(1) O E=O F$;

    $(2) \frac{1}{A D}+\frac{1}{B C}=\frac{2}{E F}$

    分析(1)转化为证明$\frac{O E}{B C}=\frac{O F}{B C}$;(2)转化为证明$\frac{E F}{A D}+\frac{E F}{B C}=2$,即$\frac{O E}{A D}+\frac{O E}{B C}=1$.

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